Urnenmodell: Zeige, welche Ziehung ist wahrscheinlicher

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenmodell: Zeige, welche Ziehung ist wahrscheinlicher
Hallo, meine Aufgabe lautet:

In einer Urne liegen vier gelbe, fünf schwarze und eine weiße Kugel. Die Kugeln unterscheiden sich nur duch die Farbe.

a)
Zeigen Sie: Es ist wahrscheinlicher bei drei Ziehungen mit Zurücklegen genau einmal schwarz zu ziehen, als bei sech Ziehungen mit Zurücklegen genau zweimal schwarz.

Ich habe jetzt einmal ein Baumdiagramm gemacht. Daran kann ich die Zahl für die drei Ziehungen mit Zurücklegen ablesen. Bei 6 Ziehungen wird das Baumdiagramm aber riesig und ich rechne da ja ewig... Da muss es doch eine andere schnellere Methode geben um diese Wahrscheinlichkeit herauszubekommen, als alle relevanten Zweige einzeln auszurechnen und zu addieren, oder?

b) Wie oft muss man mit Zurücklegen ziehen, um sicher einmal die weiße Kugel zu ziehen? Wie ändert sich das Ergebnis wenn man ohne Zurücklegen zieht? Begründen Sie ihre Antwort.

Also wenn man mit Zurücklegen zieht, bekommt man ja nie 100% Sicherheit.. Bei jedem einzelnen Zug habe ich die Wahrscheinlichkeit1/10 die weiße Kugel zu ziehen. Ich kann also ausrechnen, nach wie vielen Zügen die Wahrscheinlichkeit 99% ist, aber auf 100% komme ich doch nie, oder?

Wenn ich ohne Zurücklegen ziehe, habe ich spätestens nach dem 10. Zug die weiße Kugel, da alle anderen schon gezogen wurden und nicht mehr zurückgelegt wurden.

Habe ich das so richtig begründet?

Gruß,
Duude
uzhbkjn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urnenmodell: Zeige, welche Ziehung ist wahrscheinlicher
zu b) - richtig
zu a) - also, liegen 5 schw. und 5 nicht-schw. Wahrscheinl. 1 schw zu ziehen =.5
weiter mit Baumdiagremm:
FÜR 3 Ziehungen: gibt es 2x2x2=8 Zweige, davon nur C(1, 3)=3 Richtigen, jede Richtige hat Wahr= 0,5x0,5x0,5=0,125 (1Schw + 1nSchw+1nSchw); Gesamt W=0,375;
FÜR 6 Ziehungen: gibt es 2hoch6=64 Zweige, davon nur C(2,6)=15 Richtigen,jede Richtige hat w.= (0,5 hoch 2)x(0,5 hoch 4)=0,015625; (2 Schw + 4 nSchw); Gesamt W=15 x 0,015625=0,234375. also < als 0,375.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine Antwort.

Also ich habe mit dem Baumdiagramm für 3 Ziehungen dasselbe Ergebnis wie du. Ich habe auch die Anzahl der Äste jeweils nachvollziehen können.

Was ich nicht verstehe ist, wie du dieses C(1,3) berechnet hast... was ist das denn? Ich dachte an eine Art Binomialkoeffizient, aber hierbei muss die obere Zahl ja stets größer als die untere sein, was bei 1 oben und 3 unten nicht gegeben ist...

Ich nehme an mit C(1,3) willst du sagen, dass genau eine von 3 ausgewählt werden soll (also schwarz ist)
Und C(2,6) bedeutet, dass genau zwei von 6 Kugeln schwarz sein sollen.

Weiß jemand, wie ich das mit dem C ausrechne? Also wie komme ich auf C(2,6)=15?
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin mittlerweile auch auf die 15 richtigen Zweige bei den 6 Ziehungen gekommen. Allerdings nur durch Abzählen Augenzwinkern Also alle möglichen aufschreiben und dann zählen, wie viele Möglichkeiten es gibt..

Ich würde mich aber trotzdem noch freuen, wenn mir jemand die Rechnung mit dem C(2,6)=15 erklären könnte.
fdggyhhhhhh Auf diesen Beitrag antworten »

Anstatt (2,6) muss man selbstverständlich K(6,2) schreiben, also =6!/2!/4!.
es gibt 2 hoch 6 zweige, dir passende haben 2 schw + 4 nschw. glieder. Es gibt K(6,2) solchen.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Binomialkoeffizient?



Das bedeutet ja, dass ich 15 Möglichkeiten habe 2 Kugeln aus 6 Kugeln auszuwählen.


Nur um zu sehen, ob ich das wirklich verstanden habe:
Wenn ich also bei 6 Ziehungen mit Zurücklegen genau 3mal schwarz ziehen wollte, müsste ich so rechnen:



Es gibt also 20 Möglichkeiten 3 Kugeln aus 6 Kugeln auszuwählen.

Passt das so?
 
 
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