abgeschlossener Rand

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
abgeschlossener Rand
Hi...

Meine Aufgabe:

Zeige, dass für beliebige Teilmengen der reellen Zahlen der Rand im allgemeinen nicht abgeschlossen ist.


meint ihr zu dieser Aufgabe reicht ein Gegenbeispiel ( zum Beispiel die Menge der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abgeschlossener Rand
Zitat:
Original von Sunwater
meint ihr zu dieser Aufgabe reicht ein Gegenbeispiel

was denn sonst!?

Zitat:
( zum Beispiel die Menge der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1)

Was ist da der Rand!?
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Wikipedia ist der Rand immer abgeschlossen? verwirrt
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von papahuhn
Laut Wikipedia ist der Rand immer abgeschlossen? verwirrt

Aber da steht auch, dass z.B. ist, was ich auch nicht ganz glauben mag, denn per (Wiki-)Definition ist



Augenzwinkern
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das Komplement einer offenen Menge ist immer abgeschlossen und das Komplement einer abgeschlossenen Menge immer offen. Im speziellen sei nun A eine Menge und das Innere von A. Dann ist der Rand gerade

Das innere einer Menge ist nun aber offen (da das Innere aus genau den inneren Punkten besteht), also ist abgeschlossen.

@Dual Space

Das innere der Rationalen Zahlen ist leer, das liegt vor allem daran das Q dicht in R liegt. Wir finden zu jeder noch so kleinen Umgebung um eine rationale Zahl immer eine irrationale Zahl die in dieser Umgebung liegt. Deshalb besitzt Q keine inneren Punkte und deshalb ist das Innere von Q leer. Entsprechend besteht Q aber aus der Menge seiner Randpunkte und zudem sind alle irrationalen Zahlen Randpunkte da wir zu jeder Umgebung um eine irrationale Zahl eine Rationale Zahl in dieser Umgebung finden.

Entsprechend ist

Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ok - dann war mein Gegenbeispiel nicht gut durchdacht...

aber wenn ich jetzt solche eine Teilmenge von R konstruieren will, deren Rand nicht abgeschlossen ist, dann brauch ich ja laut Mazze's Ausführungen eine Menge, deren innere Punkte keine offene Menge bilden.
Denn wenn sie eine offene Menge bilden, dann ist der Rand abgeschlossen ( hab ich so verstanden ?! ).

Also bräuchte ich ne Menge ohne Innere Punkte, oder?
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von papahuhn
Laut Wikipedia ist der Rand immer abgeschlossen? verwirrt


Genau!



Letzteres ist der Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen, der wieder abgeschlossen ist.

Grüße Abakus smile

PS: Forum Kloppe für den Aufgabensteller
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Und sowas

Zitat:
Original von Sunwater
eine Menge, deren innere Punkte keine offene Menge bilden.

gibt es auch nicht, denn das Innere einer Menge ist per definitionem offen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
@Dual Space

Das innere der Rationalen Zahlen ist leer, das liegt vor allem daran das Q dicht in R liegt. Wir finden zu jeder noch so kleinen Umgebung um eine rationale Zahl immer eine irrationale Zahl die in dieser Umgebung liegt. Deshalb besitzt Q keine inneren Punkte und deshalb ist das Innere von Q leer. Entsprechend besteht Q aber aus der Menge seiner Randpunkte und zudem sind alle irrationalen Zahlen Randpunkte da wir zu jeder Umgebung um eine irrationale Zahl eine Rationale Zahl in dieser Umgebung finden.

Entsprechend ist


Achherje ... stimmt! Dankö! Wink
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab nochmal drüber nachgedacht und weiß nicht, wo dann die folgende Argumentation hinkt:

Betrachte die Menge der rationalen Zahlen im Intervall (0,1).
Dann liegt in einer Epsilon-Umgebung jedes dieser Intervalle mindestens ein Element, dass zur Menge gehört und eins das nicht zur Menge gehört. Somit ist jeder Punkt der Menge ein Randpunkt.

Das Komplement der Menge sind die irrationalen Zahlen im Intervall (0,1). Diese s Komplement ist nicht offen, denn es gibt keine Epsilonumgebung für ein Element des Intervalls so dass in dieser Umgebung nur Punkte aus dem Komplement liegen. Weil das Komplement nicht offen ist, ist also die Menge der rationalen Zahlen im Intervall (0,1) nicht abgeschlossen. Aber sie ist ein Rand.

Wäre das nicht ein Gegenbeispiel?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst einen entscheidenden Fehler:

Sei die Menge der rationalen Zahlen im Intervall (0,1). Dann ist jeder Punkt von auch ein Randpunkt von , richtig - aber die Menge der Randpunkte von enthält noch weit mehr Punkte!!! Und darüber gehst du einfach hinweg...
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst, dass auch die irrationalen Punkte Randpunkte sind?

dann wäre mein Rand also das Intervall [0,1] und somit doch abgeschlossen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig , und falls das im Thread untergegangen sein sollte:

Der Rand ist immer (!) abgeschlossen und Deine Aufgabe so wie sie gestellt ist kann nicht bewiesen werden weil sie einfach falsch ist.
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

@ Sunwater: Dein Prof, den ich zufällig vom letzten Jahr kenne Augenzwinkern , ist manchmal etwas konfus. Ich denke er meinte etwas anderes, aber hat es leider falsch aufgeschrieben.

Du beweist ihm einfach, wie schon oben gesagt, dass der Rand immer abgeschlossen oder entweder gleich oder ist:



ist per Definition offen und wenn nun auch offen ist, so muss auch als endliche Vereinigung offener Mengen offen sein. ist allerdings per Definition abgeschlossen. In gibt es nur zwei Mengen, die offen und abgeschlossen zugleich sind und zwar und selbst.

Keine Sorge, die Aufgaben werden deutlich angenehmer, viel Integralaufgaben und die Klausur war ein wirkliches Geschenk.


Grüße!
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Schmonk. Mir war doch gleich so, als gäbe es da ein Hintertürchen bei der Aufgabe ... wenn ich doch nur nicht immer so vergesslich wär. Forum Kloppe
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