Topologie (unlösbare Aufgabe?)

22.02.2010, 22:22

gonnabphd

Topologie (unlösbare Aufgabe?)

Heute in Topologie wurde folgende Aufgabe gestellt. Ich bin fest überzeugt, dass es dazu keine Lösung gibt, aber dazu weiter unten:

Zu finden ist eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit der euklidischen (Standard-) Topologie versehen ist), so dass sich

$\begin{eqnarray*} A, A^-, Int(A^-), (Int(A^-))^-, Int((Int(A^-))^-) \end{eqnarray*}$

alle unterscheiden.
Dabei soll Int(...) das Innere bezeichnen und das hochgestellte "-" die abgeschlossene Hülle.

Mein Argument, dass es keine solche Teilmenge von R geben kann, ist, dass beim ersten Abschluss noch kompakte Intervalle und einzelne Punkte übrigbleiben. Das Innere davon sind nur noch offene Intervalle. Nimmt man nun den Abschluss und dann wieder das Innere, so sind das dann wieder die gleichen Intervalle.

Ansonsten müsste das Innere des ersten Abschlusses ja so etwas sein wie

$\begin{eqnarray*} (0,1)\cup (1,2) \end{eqnarray*}$

was jedoch nicht das Innere einer abgeschlossenen Menge sein kann... verwirrt

22.02.2010, 23:04

Abakus

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RE: Topologie (unlösbare Aufgabe?)

Zitat:

Original von gonnabphd
Ansonsten müsste das Innere des ersten Abschlusses ja so etwas sein wie

$\begin{eqnarray*} (0,1)\cup (1,2) \end{eqnarray*}$

was jedoch nicht das Innere einer abgeschlossenen Menge sein kann... verwirrt

Hallo!

Etwas "stärkere" Anomalien sollten dir schon einfallen, zum obigen (benutze es als Startmenge A) ist also noch etwas dazu zu basteln. Dann werden die Mengen deiner Folge schon verschieden.

Grüße Abakus smile

22.02.2010, 23:39

gonnabphd

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$\begin{eqnarray*} [ 0,1)\cup (1,2)\cup \left\{ 3 \right\} \end{eqnarray*}$

Das war so das beste was mir eingefallen ist... Die Folge der Abschliessungen und Inneren Mengen ist dann:

$\begin{eqnarray*} [ 0,2]\cup \left\{ 3 \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (0,2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (0,2) \end{eqnarray*}$

22.02.2010, 23:42

gonnabphd

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Wobei da eben das Problem mit dem jeweils Inneren auftaucht... Ich habe schon einiges dran überlegt, aber ich finde kein Inneres einer abgeschlossenen Menge, so dass das Innere des Abschlusses deren Inneren nicht gleich dem Inneren ist. unglücklich

Edit: Nach dem ersten Schritt können ja nur noch einzelne Punkte und kompakte Intervalle vorkommen.
Im zweiten Schritt werden davon die einzelnen Punkte ausgelöscht und die kompakten Intervalle werden zu offenen Intervallen.
Im dritten Schritt macht man die offenen zu kompakten Intervallen und im vierten die kompakten zu offenen.
Deshalb sehe ich nicht, wie die Menge nach dem vierten Schritt anders sein könnte, als nach dem zweiten Schritt.

AUSSER: Es ergibt sich nach dem zweiten Schritt eine Menge wie im ersten Post beschrieben. (Aber ich wiederhole mich im Prinzip nur...)

Frage an Abakus: Kennst du denn die Menge schon? Bzw. eine mögliche?!

23.02.2010, 00:22

Abakus

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Also 4 Mengen habe ich im Moment verschieden. Die fünfte noch verschieden zu bekommen, scheint schwierig zu sein.

Was ist, wenn man unendlich viele (disjunkte) Intervalle vereinigt, die sich irgendwo häufen? Lässt sich daraus was machen?

Die Alternative wäre zu zeigen, dass sich die 4 Mengen wiederholen müssen.

Grüße Abakus smile

23.02.2010, 01:03

Abakus

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Zitat:

Original von Abakus
Die Alternative wäre zu zeigen, dass sich die 4 Mengen wiederholen müssen.

Überlegen wir mal, was gilt:

$\begin{eqnarray*} int(A^-) \end{eqnarray*}$ ist offen, und wird größer, wenn wir davon den Abschluss nehmen:

$\begin{eqnarray*} int(A^-) \subseteq int(A^-)^- \end{eqnarray*}$

Davon jetzt der offene Kern gebildet, ändert an der Inklusion nichts (die linke Seite bleibt dabei gleich):

$\begin{eqnarray*} int(A^-) \subseteq int(int(A^-)^-) \end{eqnarray*}$

Die andere Richtung, sicher gilt:

$\begin{eqnarray*} int(A^-) \subseteq A^- \end{eqnarray*}$

Jetzt den Abschluss auf beiden Seiten bilden, die rechte Seite bleibt dabei gleich:

$\begin{eqnarray*} int(A^-)^- \subseteq A^- \end{eqnarray*}$

Bei der weiteren Bildung des offenen Kerns bleibt die Inklusion stehen:

$\begin{eqnarray*} int(int(A^-)^-) \subseteq int(A^-) \end{eqnarray*}$

Damit sind die dritte und fünfte Menge tatsächlich gleich, entgegen meiner ersten Erwartung.

Grüße Abakus smile

23.02.2010, 01:06

gonnabphd

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Danke dir!

23.02.2010, 01:24

Abakus

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Interessante Aufgabe in jedem Fall Augenzwinkern

.

Vielleicht sollte man in der Folge anstelle des Abschlusses mal den Komplementoperator $\begin{eqnarray*} ^c : X \to \mathbb R \setminus X \end{eqnarray*}$ betrachten o.ä. Da sind die Möglichkeiten dann größer.

Grüße Abakus smile

23.02.2010, 01:37

gonnabphd

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Ja, dazu gab es in der Tat auch eine Aufgabe:

Zu beweisen ist, dass aus einer beliebigen Startmenge A maximal 14 verschiedene Mengen mit den beiden Abbildungen (edit: mit Verknüpfungen dieser beiden Funktionen)

$\begin{eqnarray*} (...)^c: P(\mathbb{R}) \rightarrow P(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ (Komplementoperator)

$\begin{eqnarray*} (...)^-: P(\mathbb{R}) \rightarrow P(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ (Abschlussoperator)

zu gewinnen sind.

Weiterhin sollte man auch noch ein Beispiel einer Menge angeben, wo diese 14 Mengen tatsächlich verschieden sind.

Dieser Satz geht wohl auf einen Herrn Kuratowski zurück.

Da ich den Beweis bereits kenne, sage ich das übrigens nur als Hinweis, da es dich interessieren könnte. smile

Edit: Die Aufgabe stammt aus "Topology" von James Munkres

23.02.2010, 01:44

Abakus

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Genau, das meinte ich. Dass dies von Kuratowski ist, wusste ich allerdings noch nicht.

Grüße Abakus smile

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