integral im Betrag

23.02.2010, 01:25

Michael00

integral im Betrag

Was ist der Unterschied zwischen dem Integral I1 und dem Integral I2? Und wie werden sie berechnet?

$\begin{eqnarray*} I1=\int_a^b \! \ |2sin(x)+3cos(x)| \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I1=\int_a^b \! \ |2sin(x)|+3|cos(x)| \, dx \end{eqnarray*}$

untere Grenze a ist $\begin{eqnarray*} 3\pi \end{eqnarray*}$
obere Grenze b ist $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$

Bin sehr dankbar wenn ihr mir schnell helfen könnt. Schreibe bald meine Matheklausur.

Mfg Michael

23.02.2010, 01:35

Abakus

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RE: integral im Betrag

Zitat:

Original von Michael00
$\begin{eqnarray*} I1=\int_a^b \! \ |2sin(x)+3cos(x)| \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I1=\int_a^b \! \ |2sin(x)|+3|cos(x)| \, dx \end{eqnarray*}$

untere Grenze a ist $\begin{eqnarray*} 3\pi \end{eqnarray*}$
obere Grenze b ist $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$

Hallo!

Was hast du bereits versucht bzw. wo steckst du fest? Die Graphen der beiden Integranden dürften verschieden sein, da ist also ein Unterschied (der Integrand beim zweiten Integral gehört in Klammern).

Grüße Abakus smile

23.02.2010, 01:36

WebFritzi

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Über $\begin{eqnarray*} [3\pi,7\pi/2] \end{eqnarray*}$ sind die Integrale gleich, denn sowohl Sinus als auch Kosinus sind dort negativ. Ab $\begin{eqnarray*} 7\pi/2 \end{eqnarray*}$ allerdings ist der Kosinus wieder positiv, während der Sinus negaativ bleibt. Daher haben die Integrale auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [7\pi/2,4\pi] \end{eqnarray*}$ verschiedene Werte.

23.02.2010, 01:53

Michael01

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danke für die schnelle antwort. Zunächst habe ich die Nullstellen im Intervall zwischen 3pi und 4pi ermittelt. Beim Integral I2 kann ich ja problemlos das Integral in zwei integrale unterteilen. Beim Integral I1 weiß ich nicht wie die betragsstriche gesetzt werden wenn ich es in zwei integrale unterteilen möchte.

ps. war gerade als gast angemeldet, konnte daher nicht antworten =)

23.02.2010, 02:03

Abakus

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Ein Überblick sieht so aus:

Du könntest mit Additionstheoremen versuchen, den Ausdruck zusammenzufassen, oder du rechnest irgendwie die Nullstelle aus.

Grüße Abakus smile

23.02.2010, 02:06

Michael01

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ich habe die Nullstellen bereits ausgerechnet, ich weiß nur nicht wie ich den ersten Integrand zusammenfassen kann. Ich hab es mit Additionsth. versucht, aber dann kam ein sehr unhandlicher ausdruck den ich nicht integrieren konnte. Hast du einen Tipp wie ich den ersten Integrand geschickt zusammenfassen kann?

gruß michael

23.02.2010, 02:10

Abakus

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Zitat:

Original von Michael01
ich habe die Nullstellen bereits ausgerechnet, ich weiß nur nicht wie ich den ersten Integrand zusammenfassen kann.

Wenn du die Nullstelle hast, kannst du die Betragstriche einfach auflösen. Damit solltest du weiterkommen.

Grüße Abakus smile

23.02.2010, 02:12

Michael01

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danke, ich versuche es mal mit den Nullstellen

gruß michael

23.02.2010, 02:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von Michael01
Beim Integral I2 kann ich ja problemlos das Integral in zwei integrale unterteilen. Beim Integral I1 weiß ich nicht wie die betragsstriche gesetzt werden wenn ich es in zwei integrale unterteilen möchte.

Ja, I2 (du hättest es auch so definieren sollen Augenzwinkern

) kannst du einfach auseinanderziehen. Wie Sinus und Kosinus sich einzeln verhalten, weißt du ja sicher. Die Nullstelle von f(x) = 2sin(x) + 3cos(x) im Intervall $\begin{eqnarray*} [3\pi,4\pi] \end{eqnarray*}$ liegt bei $\begin{eqnarray*} 4\pi - \arccos(2/\sqrt{13}) \approx 11.5836. \end{eqnarray*}$

23.02.2010, 02:58

Michael01

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Ja sry dass ich das zweite integral nicht entsprechend definiert habe. Ich kann die Nullstellen vom Ausdruck 2sinx=0 und von 3cosx=0 ermitteln. Aber wie kann ich sie einfach auseinander ziehen? zwischen 2sinx und 3cosx steht doch ein pluszeichen, wenn es ein produkt wäre, hätte ich damit keinen problem... oder anders gefragt, wie bist du auf die nullstelle gekommen?

23.02.2010, 03:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von Michael01
wenn es ein produkt wäre, hätte ich damit keinen problem...

Da es das Problem ist, hättest du dann damit kein Problem.

Zitat:

Original von Michael01
oder anders gefragt, wie bist du auf die nullstelle gekommen?

Durch Mathematica. Augenzwinkern

Aber selber komme ich auf eine andere, leichtere Darstellung, nämlich $\begin{eqnarray*} 4\pi - \arctan(3/2). \end{eqnarray*}$ Darauf kommt man, wenn man sich tan = sin/cos vor Augen führt.

23.02.2010, 03:22

Michael01

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ich bin jetzt auch auf das ergebnis von "Mathematica" gekommen ... und zwar kommt man darauf wenn man statt sinx $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-cos^{2}x } \end{eqnarray*}$ schreibt ... manchmal ist es besser mit einfachen ansätzen zu beginnen =)

danke für deine hilfe
gruß michael

23.02.2010, 03:55

WebFritzi

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Zitat:

Original von Michael01
ich bin jetzt auch auf das ergebnis von "Mathematica" gekommen ... und zwar kommt man darauf wenn man statt sinx $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-cos^{2}x } \end{eqnarray*}$ schreibt ...

Das ist aber nicht in Ordnung, weil du damit voraussetzt, dass der Sinus an dieser Stelle positiv ist. Das weißt du aber a priori nicht. Tatsächlich ist sin(x) für x zwischen $\begin{eqnarray*} 3\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ negativ! Also gilt für x aus diesem Intervall $\begin{eqnarray*} \sin(x) = -\sqrt{1 - \cos^2(x)}. \end{eqnarray*}$ Besser finde ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} 2\sin(x) + 3\cos(x) = 0,\;x\in [3\pi,4\pi]. \end{eqnarray*}$

Offenbar ist cos(x) nicht Null (denn dann wäre auch sin(x) = 0, was nicht geht). Also dürfen wir teilen:

$\begin{eqnarray*} 2\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + 3 = 0,\;x\in [3\pi,4\pi]. \end{eqnarray*}$

Wegen tan = sin/cos ist diese Gleichung äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \tan(x) = -\frac 3 2,\;x\in [3\pi,4\pi]. \end{eqnarray*}$

Der Tangens ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ -periodisch und bildet $\begin{eqnarray*} (-\pi/2,\pi/2) \end{eqnarray*}$ bijektiv auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ab. Die Umkehrfunktion ist der Arkustangens. Daher sind die Lösungen von $\begin{eqnarray*} \tan(x) = -\frac 3 2 \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \arctan(-3/2) + k\pi,\;k\in\mathbb Z. \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \arctan(-3/2) = -\arctan(3/2) \end{eqnarray*}$ negativ ist, ist die gesuchte Lösung in $\begin{eqnarray*} [3\pi,4\pi]: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\pi - \arctan(3/2). \end{eqnarray*}$

23.02.2010, 04:16

Michael01

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ich habe zunächst sinx umgeformt und mir am einheitskreis klar gemacht wo die nullstellen sein müssen, so bin ich auf das ergebnis gekommen... aber deine lösung mit tan finde ich noch besser! danke für deine unterstützung

23.02.2010, 04:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von Michael01
ich habe zunächst sinx umgeformt und mir am einheitskreis klar gemacht wo die nullstellen sein müssen, so bin ich auf das ergebnis gekommen...

Die - wie bereits erwähnt - falsch ist. Also hast du es dir wohl unzureichend klargemacht. Augenzwinkern

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