[gelöst] Volumen einer durchbohrten Kugel

23.02.2010, 08:28

Gualtiero

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[gelöst] Volumen einer durchbohrten Kugel

Wer mag und sie noch nicht kennt, kann diese Aufgabe lösen.
Hier im Matheboard habe ich sie unter mehreren Stichwörtern nicht gefunden, ich hoffe, meine Suche war ausreichend.

Aufgabe:
Wieviel Wasser verdrängt eine Metallkugel, durch deren Zentrum eine 12.4 cm lange Bohrung geht?

Siehe Darstellung in der Skizze.

[attach]13581[/attach]

Die, die die Lösung kennen, können dies ja sagen, ohne gleich alles zu verraten.

24.02.2010, 08:47

sulo

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel
Mir fehlt zum Lösen noch eine Angabe.... verwirrt

verwirrt

24.02.2010, 08:56

Huggy

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel

Zitat:

Original von sulo
Mir fehlt zum Lösen noch eine Angabe.... verwirrt

verwirrt

Das ist doch gerade der Clou der Aufgabe!

Wenn man einfach voraussetzt, dass die Angaben genügen, ist die Lösung trivial. Zur vollständigen Lösung gehört natürlich der Nachweis, dass die Angaben genügen.

24.02.2010, 08:59

sulo

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von sulo
Mir fehlt zum Lösen noch eine Angabe.... verwirrt

verwirrt

Das ist doch gerade der Clou der Aufgabe!

Als hätte ich es nicht geahnt....

edit: Habe im Moment leider wenig Zeit, werde mir die Aufgabe aber heute oder morgen auf jeden Fall vornehmen. smile

smile

24.02.2010, 09:25

Gualtiero

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel

Zitat:

Original von Huggy
Das ist doch gerade der Clou der Aufgabe!
. . .
Zur vollständigen Lösung gehört natürlich der Nachweis, dass die Angaben genügen.

Die Angaben sind vollständig. Freude

Freude

24.02.2010, 09:51

Huggy

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel
Ich bin 1971 das erste mal auf diese schöne Aufgabe gestoßen, und zwar in einem der Bücher des legendären Martin Gardner. Dort hatte das Loch eine Länge von 6 Einheiten. Damit wird das Ergebnis numerisch viel schöner.

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24.02.2010, 10:00

Gualtiero

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel
Den Autor kenne ich (noch) nicht. Ich will aber jetzt über die Lösung nichts weiter sagen, um ja keinen Hinweis zu geben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denn, wie Du schon gesagt hast, ist die Lösung denkbar einfach. Ich schätze, spätestens bis Schulstufe 10, wenn nicht schon früher, hat man alles gelernt, was dazu nötig ist.

24.02.2010, 10:50

Huggy

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel

Zitat:

Original von Gualtiero
Den Autor kenne ich (noch) nicht

Dann wird es aber höchste Zeit! Das ist eine echte Bildungslücke für jeden, der sich für Unterhaltungsmathematik interessiert. Der Wiki-Artikel gibt einen ersten Eindruck: http://de.wikipedia.org/wiki/Martin_Gardner

24.02.2010, 11:30

Leopold

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Ich habe mir das einmal durchgerechnet, und zwar gleich mit einer beliebigen Zylinderhöhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ statt den krummen 12,4. Man kommt dann ganz standardmäßig auf das Ergebnis. Natürlich frage ich mich, ob man das verblüffende Resultat durch einen Geniestreich, sozusagen ohne Rechnung, bekommen kann. verwirrt

verwirrt

24.02.2010, 11:41

Huggy

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Zitat:

Original von Leopold
Natürlich frage ich mich, ob man das verblüffende Resultat durch einen Geniestreich, sozusagen ohne Rechnung, bekommen kann. verwirrt

verwirrt

Das geht meiner Meinung nach nur, wenn man ohne Beweis unterstellt, dass die Angaben zur Aufgabe ausreichen, um sie zu lösen.
Dann ist es aber auch kein Geniestreich. Man wählt dann den Radius der Kugel so, dass das Ergebnis trivial wird.

24.02.2010, 18:47

Gualtiero

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel

Zitat:

Original von Huggy
Der Wiki-Artikel gibt einen ersten Eindruck:

Danke für den Link.
(Das ist die einzige, dafür aber große Gefahr, die vom Matheboard ausgeht: man bekommt so viele gute Literaturtipps, dass die Qual der Wahl manchmal fürchterlich ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

02.03.2010, 09:28

Gualtiero

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel
Da ohnehin niemand mehr postet, werde ich das Rätsel lösen.
Der Rechenweg von Leopold ist eigentlich schon die Lösung, mehr sagt der Autor des Buches leider auch nicht. Die Aufgabe des Beweises besteht also weiterhin.

Um das Volumen der durchbohrten Kugel zu berechnen, ist es am besten, den Leerraum, also den weggebohrten Teil, der dem Restkörper zu einer vollen, "massiven" Kugel fehlt, zu berechnen.
Dieser Leerraum ist geometrisch gesehen ein zusammengesetzter Körper,
- der aus einem Zylinder mit Höhe 12.4 und Radius r,
- und zwei Kugelkalotten (= Kugelabschnitten) mit Höhe H = R - 6.2 besteht.

Wir wollen wie Leopold auch mit einer allgemeinen Höhe für den Zylinder rechnen, diese sei h.
Weiters soll gelten:
R : Radius Kugel
r : Radius Zylinder
h: Höhe Zylinder
H : Höhe einer Kugelkalotte

H drücken wir aus mit: $\begin{eqnarray*} H=R-\frac{h}{2}\Rightarrow H^2=R^2-R\cdot h+\frac{h^2}{4} \end{eqnarray*}$

Weiters benötigen wir: $\begin{eqnarray*} r^2=R^2-\frac{h^2}{4} \end{eqnarray*}$

Das Volumen des Zylinders: $\begin{eqnarray*} V_{Zyl}=(R^2-\frac{h^2}{4})\cdot \pi \cdot h=R^2\cdot \pi \cdot h - \frac{1}{4}\cdot h^3\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Eine Kugelkalotte hat das Volumen: $\begin{eqnarray*} H^2\cdot \pi \cdot (3R-H)\cdot \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Wir haben zwei solcher Kalotten und berücksichtigen gleich: 3R - H = 2R + h/2.

$\begin{eqnarray*} V_{2Kal}=\frac{2}{3}\cdot (R^2-R\cdot h+\frac{h^2}{4})\cdot \pi \cdot (2R+\frac{1}{2}\cdot h)=\frac{4}{3}\cdot R^3\cdot \pi-h \cdot R^2 \cdot \pi+\frac{1}{12}\cdot h^3\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Das Volumen der beiden Kalotten und des Zylinders, abgezogen vom Kugelvolumen, ergibt das gesuchte Volumen.

$\begin{eqnarray*} V_{Rest}&=&V_{Kug}-V_{Zyl}-V_{2Kal}=\\\\ &=&\frac{4}{3}\cdot R^3\cdot \pi-R^2\cdot \pi \cdot h + \frac{1}{4}\cdot h^3\cdot \pi - \frac{4}{3}\cdot R^3\cdot \pi + R^2 \cdot \pi \cdot h- \frac{1}{12}\cdot h^3\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Das Vergnügen des letzten Schrittes zum "verblüffenden" Ergebnis soll jedem selbst überlassen bleiben. smile

smile

Edit

03.03.2010, 20:09

Rechenschieber

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Ich wollte letztens posten, weil ich auch zwei Bücher von Gardner besitze und ein komplettes Buch als PDF-Datei im Internet zu finden ist. Allerdings in englischer Sprache.
Hatte dann aber abgebrochen, weil ich den Link nicht wiederfinden konnte. Er liegt wohl auf der Platte meines anderen, defekten Rechners.

Aber wenn ich mich recht erinnere, ohne von dir, Gualtiero, die Ausführung durchgelesen zu haben, müsste die Lösung wie folgt sein:

Lässt man den Kugeldurchmesser auf dieselbe Höhe, die die Durchdringung verursacht schmelzen, müsste der Zylinder den Durchmesser 0 (Null) haben.
Damit steht das Restvolumen mit 4/3 pi r³ fest. Also das reine Kugelvolumen (rund 1 l).

Wenn's stimmt, würde ich gerne ein feedback von dir, Gualtiero.
Danke.

LGR

Edit: Sorry, war trotzdem noch einen Zahlendreher bei mir drin.

04.03.2010, 09:45

Huggy

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Das ist die 'kurze' Lösung. Sie geht davon aus, dass der Kugeldurchmesser nicht gebraucht wird, weil er nicht angegeben ist. Dann muss die Lösung unabhängig vom Kugeldurchmesser sein und man kann diesen geschickt wählen, wie du es getan hast.

Die vollständige Lösung erfordert natürlich den Nachweis, dass das Ergebnis wirklich unabhängig vom Durchmesser der Kugel ist. Das zeigt die Rechnung von Gualtiero.

03.04.2010, 14:37

Leopold

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Was haltet ihr von der folgenden Lösung?
Ich bezeichne mit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ den Kugelradius und mit $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Höhe des ausgebohrten Zylinders. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \, , \ \ -R \leq x \leq R \end{eqnarray*}$

erzeugt bei Rotation um die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse die Kugel als Rotationskörper. Der ausgebohrte Zylinder hat den Radius $\begin{eqnarray*} f \left( \frac{h}{2} \right) \end{eqnarray*}$ . Das Volumen der Restkugel ist daher

$\begin{eqnarray*} V = 2 \pi \int_0^{\frac{h}{2}} \left[ \left( f(x) \right)^2 - \left( f \left( \frac{h}{2} \right) \right)^2 \right]~\dd x = 2 \pi \int_0^{\frac{h}{2}} \left( \left( \frac{h}{2} \right)^2 - x^2 \right)~\dd x = \frac{1}{6} \pi h^3 \end{eqnarray*}$

03.04.2010, 15:09

Huggy

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Das gefällt mir. Schön und elegant!
So wird die vollständige Lösung fast so kurz wie die 'kurze' Lösung.

03.04.2010, 17:08

Gualtiero

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Zitat:

Original von Leopold
Was haltet ihr von der folgenden Lösung?

Viel. Sogar sehr viel. Die Lösung muss einem ja gefallen.

Sie ist nicht mal dem Autor bekannt, von dem ich das Rätsel habe (Felix R. Paturi in "Mathematische Leckerbissen").

05.04.2010, 14:05

Walle_M

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel
Hey ho smile

smile

also vielleicht sind meine 2 Fragen ein bisschen doof aber naja ich stell sie mal :P
Also 1. würde ich gerne wissen so ziemlich am Ende hast du ''berügsichtigen wir 3R - H = 2R + h/2.'' geschrieben. Ist das eine Regel oder logisch? Da ich das leider nicht nachvollziehen kann.
2. Wäre es nett wenn du mir den ausführlichen Rechenweg und das Ergebnis aufschreiben könntest weil ich hier am verzweifeln bin Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank smile

smile

(Den Rechenweg meine ich nur den langen bei dem du für Vrest = VKugel - VZylinder... alles einsetzt)
Dankeschön smile

smile

oh man hat wohl nicht dahin gepostet wo es sein sollte^^ also das ist an den erklärten Rechenweg von Gualtiero.

05.04.2010, 23:07

Gualtiero

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel
Zur 1. Frage: Ich habe es jetzt deutlicher ausgedrückt, dass mit h die Höhe des Zylinders gemeint ist. Und in der ersten latex-Zeile ist H definiert, dieses habe ich einfach in 3R - H eingesetzt.

Zur 2. Frage: Die Berechnung der Kalottenvolumina habe ich ja ausführlich dargestellt, und die Formeln für Kugel- und Zylindervolumen sind so einfach (stehen auch in jeder Formelsammlung), dass eine noch genauere Beschreibung des Rechenweges wohl nicht notwendig ist.
Wie ich auch gesagt habe, soll es ja Spaß machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Noch ein Tipp: zeichne meine Skizze ab und trage alle Bestimmungsstücke ein. Ober- bzw. unterhalb der Abflachung sitzt jeweils die Kugelkappe (Kalotte) mit Höhe H.

06.04.2010, 10:10

Walle_M

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel
gut richtig smile

smile

ähm zum 1. nochmal da hast du H eingesetzt das is verständlich aber:
3R-H | 3R - R - h/2 <- und nun ist meine frage wieso es 2R + h/2 gibt und nicht 2R - h/2
aaah vielleicht weiß ich es jetzt ist mir vorher nicht aufgefallen .. wenn du einsetzt heisst es also :
3R - H
3R -(R-h/2) und wenn du nun die klammer fallen lässt dreht sich das vorzeichen oder? d.h.
3R - R + h/2 = 2R + h/2 richtig?
ist jetzt ein bisschen blöd wenn ich die ''lösung'' schreibe aber ich bröchte ein feedback weil wir es bis ende der ferien haben müssten (also die aufgabe.. oh man mathe lk wird was xD) ähm also ich hatte am ende 1/6 h³pi glaube ich raus wenn ich das gerechnen hatte bekam ich 988.9 oder sowas raus kann das stimmen? unglücklich

unglücklich

06.04.2010, 20:23

Gualtiero

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RE: Volumen einer durchbohrten Kugel
Dein Ergebnis als Formel stimmt, beim Rechnen hast Dich vertippt. Auf eine Nachkommastelle gerundet ist das Volumen 998.3 cm³, das ist ungefähr ein Liter, und deshalb die "krummen" 12.4 cm.

Dazu braucht es aber nur die Grundlagen von Gleichungsumformungen. Wenn Du da unsicher bist, nutze das Schulforum Algebra und melde Dich dort mit Beispielen, damit Du Routine bekommst. Das brauchst Du sicherlich noch öfter. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.04.2010, 22:18

Walle_M

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thx
gut .. phu ich dachte schon ich läge falsch danke bin echt begeistert was hier für mathegenies posten Big Laugh

Big Laugh

thx fürs feedback werd ich machen smile

smile

07.04.2010, 11:14

Walle_M

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Frage
ähm ich hätte bezüglich der Aufgabe noch eine Fragen :
Ich würde gerne wissen wie du auf die Formel : r² = R² - h²/4 gekommen bist das war nämlich genau das was mir fehlte

07.04.2010, 12:34

Gualtiero

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RE: Frage
Deswegen sagte ich ja, Skizze machen!
Hol das noch nach, es wird so am anschaulichsten. Zeichne R, r und h/2 so ein, dass Du ein rechtwinkliges Dreieck bekommst. Das löse dann mit Pythagoras - fertig.

07.04.2010, 13:47

Walle_M

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RE: Frage
So sehr ich mich auch anstrenge.. ich hab leider keine Idee wie ich ein Dreick so einzeichne, dass ich r und R drinne bekomm unglücklich

unglücklich

07.04.2010, 13:55

Kääsee

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@Walle M:

07.04.2010, 21:38

Walle_M

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hmhm
Ah, danke gut sowas hätte ich echt nicht hinbekommen Big Laugh

Big Laugh

danke

smile

12.04.2010, 23:02

Phil889

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Vielen Dank, eine sehr ähnliche Aufgabe haben wir im Unterricht behandelt und erst jetzt habe ich es verstanden. Danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.04.2011, 18:42

Discere

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Hey!

Leopold, könntest du mir die Variante mit dem Volumenintegral einmal näher erläuern?
ich verstehe nicht ganz wie du auf die 2 pi vor dem Integral kommst

Vielen Dank schonmal!

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