Grenzwertproblem!!! Bitte um Hilfe

19.10.2006, 11:24

Ruckus15

Grenzwertproblem!!! Bitte um Hilfe

Hallo Zusammen,

habe Problem bei folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{3}{5n})^{n} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis soll sein:

$\begin{eqnarray*} e^ \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

Wie forme ich das Ganze in Richtung e-Funktion um? Welches Gesetz findet Anwendung?

Könnte mir das mal einer etwas "detaillierter" vorrechnen???

Wäre echt nett

Gruß Ruckus

19.10.2006, 11:33

zweiundvierzig

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Hinweis:

$\begin{eqnarray*} e=\lim_{n \to \infty}~{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \end{eqnarray*}$

19.10.2006, 11:33

klarsoweit

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RE: Grenzwertproblem!!! Bitte um Hilfe
Substituiere $\begin{eqnarray*} n = \frac{3}{5}k \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

19.10.2006, 12:24

Ruckus15

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ok aber wie projektiere ich das auf folgende Aufgabe???

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1- \frac{3}{n})^{n+2} \end{eqnarray*}$

Ergebis: $\begin{eqnarray*} e^-2 \end{eqnarray*}$

19.10.2006, 12:41

klarsoweit

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Setze n = 3+3k.
Aber $\begin{eqnarray*} e^{-2} \end{eqnarray*}$ kommt da nicht raus. Augenzwinkern

19.10.2006, 13:02

Ruckus15

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Warum denn n= 3+3k???

Laut unserem Prof schon ^^

Kannst du mir das mal vorrechnen bitte???

19.10.2006, 13:09

klarsoweit

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Warum rechnest du das nicht. Mit meinem Tipp ist 80% der Arbeit schon getan.

19.10.2006, 13:46

Ruckus15

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Dann steht das da:

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{3}{3+3k})^{5+3k} \end{eqnarray*}$

Und wie gehts dann weiter??? Ich hab keine Ahnung mehr!

19.10.2006, 13:49

Ruckus15

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Wenn ich dann durch 3 kürze steht das da:

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{1+k})^{5+3k} \end{eqnarray*}$

Dann stört mich aber noch der Exponent ????

Zitat:

Original von Ruckus15
Dann steht das da:

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{3}{3+3k})^{5+3k} \end{eqnarray*}$

Und wie gehts dann weiter??? Ich hab keine Ahnung mehr!

EDIT: latex korrigiert (klarsoweit)

19.10.2006, 13:53

klarsoweit

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Ein bißchen Termumformung und Potenzregeln. Lernt man eigentlich in der 8. oder 9. Klasse. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{1+k})^{5+3k} = (\frac{k}{1+k})^{5+3k} = \left((\frac{k+1}{k})^{5+3k}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

19.10.2006, 14:07

Ruckus15

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das ist aber nicht das ergebnis das es sein soillte e^-2

19.10.2006, 14:31

klarsoweit

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Muß man denn wirklich alles bis ins letzte Detail vorkauen?

$\begin{eqnarray*} \left((\frac{k+1}{k})^{5+3k}\right)^{-1} = \left( (1 +\frac{1}{k})^{5+3k}\right)^{-1} = \left( (1 +\frac{1}{k})^5 \right)^{-1} \cdot \left( (1 +\frac{1}{k})^{k}\right)^{-3} \end{eqnarray*}$

Und jetzt den Grenzwert bilden.

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