arctanh

23.02.2010, 14:59

Fragerx

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arctanh

Hallo,
ich habe mal eine Frage. Wie berechne ich, für welche Werte b der Ausdruck im Reellen definiert ist:

$\begin{eqnarray*} arctanh \frac{e^3-1}{e^b+1} \end{eqnarray*}$

Das habe ich in die Definition eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \ln\frac{e^b+e^3}{e^b-e^3+1} \end{eqnarray*}$

ln ist definiert für x>0. Da setze ich

$\begin{eqnarray*} \frac{e^b+e^3}{e^b-e^3+1}>0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt mit dem Nenner multipliziere komme ich jedoch auf etwas falsches, woran liegt das?

23.02.2010, 15:03

Fragerx

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Im Nenner muss +2 stehen.

23.02.2010, 15:05

WebFritzi

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Der arctanh ist auf ganz IR definiert!

23.02.2010, 15:11

Fragerx

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Zitat:

Original von WebFritzi
Der arctanh ist auf ganz IR definiert!

Ist mir neu:
mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicTangent.html

23.02.2010, 15:12

Airblader

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Zitat:

Original von WebFritzi
Der arctanh ist auf ganz IR definiert!

Dem stimme ich irgendwie nicht zu verwirrt

verwirrt

Edit: Zu langsam.

air

23.02.2010, 15:13

Iorek

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Kleiner Einwurf: es ist artanh, nicht arctanh.

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23.02.2010, 15:20

Leopold

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Die unsinnige Bezeichnung arctanh kommt aus dem Amerikanischen und ist eine Analogiebildung zu arctan. Leider setzt sie sich immer mehr durch. Dabei steht doch eigentlich arc für arcus ~ lat. Bogen. "arctan" heißt also: Zu einem Tangenswert wird der zugehörige Bogen (Winkel) berechnet. Doch was soll arctanh bedeuten? Welcher Bogen wird berechnet? Aber wir Deutschen machen ja jeden Unsinn mit, wenn er nur aus dem Amerikanischen kommt. Allein das genügt ja schon, um Weltläufigkeit zu demonstrieren ...

Übrigens ist der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} \operatorname{artanh}(x) \end{eqnarray*}$ das offene Intervall von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

23.02.2010, 15:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von Iorek
Kleiner Einwurf: es ist artanh, nicht arctanh.

Ich denke doch, es geht um die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x). \end{eqnarray*}$ Diese wird IMHO mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{arctanh} \end{eqnarray*}$ bezeichnet (z.B. kennt mein Mathematica die Funktion ArTanh[x] nicht).

EDIT: Danke, Leopold. Jetzt bin ich schlauer. smile

smile

EDIT2: Und bzgl. der Definitionsmenge hat Leopold natürlich auch recht. Hab mich da vertan.

23.02.2010, 15:24

Iorek

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Ok, auch wieder was gelernt...ich hab das bisher nur als artanh(x) kennen gelernt.

23.02.2010, 15:25

Kühlkiste

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Iorek
Kleiner Einwurf: es ist artanh, nicht arctanh.

Ich denke doch, es geht um die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x). \end{eqnarray*}$ Diese wird IMHO mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{arctanh} \end{eqnarray*}$ bezeichnet (z.B. kennt mein Mathematica die Funktion ArTanh[x] nicht).

EDIT: Danke, Leopold. Jetzt bin ich schlauer. smile

smile

Nö,

$\begin{eqnarray*} \operatorname{artanh}(x):=\frac 12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right). \end{eqnarray*}$

23.02.2010, 15:29

WebFritzi

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Auf was bezieht sich dein "Nö"? Du kannst die Funktion so definieren. Das ändert nichts daran, dass sie die Umkehrfunktion des Tangens-Hyperbolikus ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.02.2010, 15:35

Leopold

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Vielleicht bezweifelt Kühlkiste ja, daß du schlauer geworden bist. Big Laugh

Big Laugh

23.02.2010, 15:40

Kühlkiste

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Zitat:

Original von WebFritzi
Auf was bezieht sich dein "Nö"?

Auf den Definitionsbereich.

In einem "Thread", der gerade "hot" ist hat man als Langsamtipper kein leichtes Spiel...

23.02.2010, 16:06

Fragerx

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Wie steht es jetzt mit meiner Ausgangsfrage. Ich habe die Definition des Artanh verwendet. Wieso funktioniert das dann mit der Ungleichung nicht?

23.02.2010, 16:28

Leopold

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Es müßte wohl

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \ln \frac{\operatorname{e}^b + \operatorname{e}^3}{2 + \operatorname{e}^b - \operatorname{e}^3} \end{eqnarray*}$

heißen. Und da der Zähler im Argument des Logarithmus stets positiv ist, kommt es nur auf den Nenner an.

Du könntest auch gleich mit

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\operatorname{e}^3 - 1}{\operatorname{e}^b + 1} \end{eqnarray*}$

arbeiten und die Ungleichung $\begin{eqnarray*} -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$ betrachten. Nach Hochmultiplizieren mit dem stets positiven Nenner verbleibt noch der rechte Teil der Doppelungleichung (der linke ist nämlich sowieso wahr).

23.02.2010, 16:29

WebFritzi

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RE: arctanh

Zitat:

Original von Fragerx
Das habe ich in die Definition eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \ln\frac{e^b+e^3}{e^b-e^3+1} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme unten +2 und nicht +1.

Zitat:

Original von Fragerx
ln ist definiert für x>0. Da setze ich

$\begin{eqnarray*} \frac{e^b+e^3}{e^b-e^3+1}>0 \end{eqnarray*}$

OK (nur mit +2). Wann ist denn ein Bruch w/z mit reellen Zahlen w und z positiv?

23.02.2010, 17:01

Fragerx

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Mit +2 hatte ich im 2. Beitrag korrigiert.

$\begin{eqnarray*} \frac{e^b+e^3}{e^b-e^3+2}>0 \end{eqnarray*}$ Der Nenner muss also Positiv sein. Aber wieso dar man nicht einfach mit dem Nenner multiplizieren?

23.02.2010, 17:13

WebFritzi

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Das darfst du, wenn er positiv ist. Wenn er negativ ist, dreht sich das Relationszeichen um, und du hast e^b + e^3 < 0, was ja falsch ist. Also darf der Nenner nicht negativ sein, und du bist wieder am Anfang. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also finde einfach alle b, so dass

$\begin{eqnarray*} e^b - e^3 + 2 > 0 \end{eqnarray*}$

gilt.

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