Binomische Formel

23.02.2010, 17:59

lisamarie

Binomische Formel

Hallo,

ich werde demnächst wieder eine Arbeit in Mathe schreiben und wollte mich nun mal wieder hinter das Thema hängen.
In der Mathearbeit müssen wir folgenden drei Anwendungen beherrschen:
- Bionomische Formel
- p-q Formel
- Satz von Vieta

Ich weiß man soll die Schuld nicht auf den Lehrer schieben, aber bei ich komme in Mathe einfach nicht mit und da bin ich auch nicht die einzige. Deshalb habe ich mich ja dann auch vor einiger Zeit hier angemeldet und hier verstehe ich es endlich. (Dabei auch einen ganz herzlichen Dank an Sulo Augenzwinkern

)

Nun komme ich zu meinem eigentlichen Problem:

Also die erste Aufgabe sollen wir mit der Bionomischen Formel lösen und die Aufgabe heißt:

xhoch2 + 8x +12 = 0
xhoch2 +8x+16= -12 +16
(x+4)hoch2 =4 /Wurzel
x1+4=+2
x2+4=-2

x1=-2
x2=-6

Klar steht dort jetzt die Aufgabe fix und fertig, aber das habe ich auch nur von der Tafel abgeschrieben und eigentlich überhaupt nicht verstanden. unglücklich

Deshalb bitte ich euch (mal wieder) um eure Hilfe und ich weiß jetzt schon: Ich brauche zwar eine Weile um es zu verstehen, aber dann läuft es wie geschmiert, weil ihr einfach super erklären könnt Freude

Bitte helft mir Gott

Gruß

Lisa

23.02.2010, 18:26

tigerbine

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RE: Bionomische Formel
1. Da du nicht neu bist: LATEX benutzen, oder wenigstens die ² Taste. unglücklich

2. Konkret fragen, was du da nicht verstehst.

$\begin{eqnarray*} x^2+ 8x +12 = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du das nicht mit einer Lösungsgformel machen sollst, sondern binomisch, dann muss du eben links eine Binomische Formel erzeugen. Dazu nimmt man nur die ersten beiden Terme.

$\begin{eqnarray*} (x^2+ 8x + ? ) +12 = 0 \end{eqnarray*}$

Was muss man für ? schreiben, damit da was binomisches steht?

23.02.2010, 18:50

lisamarie

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Genau das verstehe ich ja nicht. unglücklich

Was ist denn damit gemeint? geschockt

Gruß

Lisa

23.02.2010, 18:54

tigerbine

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Was ist eine binomische Formel... Und warum hilft einem 8=2*4 enorm weiter....

23.02.2010, 18:58

lisamarie

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Na ja, also man teilt die 8 durch 2 und dann nimmt man davon dann nochmal das Doppelte. Aber wie kommt man dann auf die 16 ?

Gruß

Lisa

23.02.2010, 19:09

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
Was ist eine binomische Forme

23.02.2010, 19:20

lisamarie

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Eine Quadratische Gleichung ?

Gruß

Lisa

23.02.2010, 19:25

tigerbine

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Schulbuch auf, Mädel. Lesen2

Das hier ist keine Ratestunde.

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formel

So, und was muss man dann für das '?' hinschreiben? Augenzwinkern

23.02.2010, 19:29

lisamarie

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Ich weiß es ist peinlich, aber ich weiß es nicht. geschockt

23.02.2010, 19:30

tigerbine

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Sorry, aber wenn du nicht bereit bist, den link anzuklicken und mir zu sagen, was eine binomische Formel (es gibt ja 3) ist, dann macht das hier doch keinen Sinn. unglücklich

Tipp: Wir werden die Plusformel brauchen

23.02.2010, 21:28

tigerbine

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aus pn Gründen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 8x +12 = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist eine quadratische Gleichung. Üblicherweise löst man die mit einer Formel. Hier soll man es nun anders machen. Mit einer binomischen Formel. Dazu braucht man die quadratische Ergänzung. Man muss auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche machen. Damit Sie es besser sehen, schreiben wir

$\begin{eqnarray*} x^2 + 8x = -12 \end{eqnarray*}$

Denn man nimmt nur die x² und x Terme um sie dann zu quadratisch zu ergänzen. Nun schreibe ich das was umständlich hin

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2\cdot x \cdot 4 = -12 \end{eqnarray*}$

was aber den Charakter der Plusformel deutlicher erkennen lässt. a²+2ab+b² = (a+b)². Damit sollte klar sein, a=x, und b=4. Man ergänzt also auf beiden Seiten

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2\cdot x \cdot 4 +4^2 = -12+4^2 \end{eqnarray*}$

Das ergibt

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2\cdot x \cdot 4 +16 = -12+16 \end{eqnarray*}$

Und nun kommt die "trickreiche Umformung", also warum man überhaupt die 16 dazu addiert hat.

$\begin{eqnarray*} (x+4)^2 =4 \end{eqnarray*}$

Nun kann die Wurzel gezogen werden. Dabei muss man eben die Fallunterscheidung beachten.(-2)²=4, 2²=4. Somit ergeben sich die Lösungen.

$\begin{eqnarray*} x_1=2-4=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-2-4=-6 \end{eqnarray*}$

Ich wünsche ihrer Tochter viel Erfolg in der Arbeit und sie braucht keine Hemmungen zu haben hier zu fragen. Augenzwinkern

Knurrende Tiger beißen nicht. Augenzwinkern

23.02.2010, 22:34

erikafuchs

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Hallo Lisamarie,
lass es mich mal probieren:
Die binomische Formel kann man in zwei Richtungen benutzen. In der einen Richtung benötigt man sie nicht unbedingt. In dieser Richtung geht es darum, zwei Klammern auszumultplizieren. Wenn in jeder Klammer zwei Sachen stehen, z.B. a und b und in der zweiten c und d, dann muss man jedes Teil in der ersten mit jedem Teil in der zweiten malnehmen:
$\begin{eqnarray*} (a+b)*(c+d)= ac+ad+bc+bd \end{eqnarray*}$
klar soweit?
Wenn in beiden Klammern das gleiche steht, dann sieht das so aus:
$\begin{eqnarray*} (a+b)*(a+b)=aa+ab+ba+bb \end{eqnarray*}$
Jetzt kann man einiges verschönern:
$\begin{eqnarray*} (a+b)*(a+b)=(a+b)² \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} aa=a² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ba=ab \end{eqnarray*}$
Jetzt sieht es so aus:
$\begin{eqnarray*} (a+b)²=a²+ab+ab+b² \end{eqnarray*}$
Jetzt noch die beiden ab's zusammenfassen und man hat die erste binomische Formel:
$\begin{eqnarray*} (a+b)²=a²+2ab+b² \end{eqnarray*}$
... die braucht man nicht unbedingt. Manchmal muss man sie aber umgekehrt benutzen:
$\begin{eqnarray*} c²+2cd+d²=(c+d)² \end{eqnarray*}$
...oder auch schwieriger:
$\begin{eqnarray*} x²+8x+4=(x+4)² \end{eqnarray*}$
Drehe die Aufgabe rum, dann ist es vielleicht klarer:
$\begin{eqnarray*} (x+4)²=x²+8x+16 \end{eqnarray*}$
für x² musst du x mal x nehmen, für die 16 musst du 4 mal 4 nehmen und für die Mitte musst du 4 mal x nehmen und das Ergebnis verdoppeln: 8x.
Aber da muss jedes Teil stimmen. Hier stimmt die 12 nicht (es müsste 16 sein):
$\begin{eqnarray*} x²+8x+12=0 \end{eqnarray*}$
Wenn am Ende nicht 16 steht, musst du die Zahl wegnehmen und die richtige hinschreiben - diese heißt quadratische Ergänzung. In deinem Beispiel war die 12 falsch, die muss man wegnehmen (auf beiden Seiten der Gleichung)
$\begin{eqnarray*} x²+8x+12-12=0-12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x²+8x=-12 \end{eqnarray*}$
und dafür die 16 addieren (auf beiden Seiten der Gleichung).
$\begin{eqnarray*} x²+8x+16=-12+16 \end{eqnarray*}$
Und x²+8x+16 darf man durch (x+4)² ersetzen. Das ist nämlich das gleiche.
$\begin{eqnarray*} (x+4)²=4 \end{eqnarray*}$
Das hat den Vorteil, dass man aus diesem Teil die Wurzel ziehen kann. Links steht dann (x+4) und rechts kann +2 oder -2 rauskommen
$\begin{eqnarray*} x+4=2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x+4=-2 \end{eqnarray*}$
Jetzt musst du links die vier subtrahieren (und rechts natürlich auch). Dann kommt einmal x=-2 oder x=-6 raus. Na ja, leicht ist das nicht, aber logisch ist es schon!
Grüße
Pit

24.02.2010, 22:20

lisamarie

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Hallo,

vielen Dank für deine Hilfe erikafuchs, ich glaube so langsam verstehe ich es.
Man kommt also auf die fehlende Zahl, indem man die Zahl vor dem x durch 2 teilt und dann diese Zahl mal nimmt, oder?

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