Differenzialrechnen in Klasse 11

23.02.2010, 17:02

Eurydike

Differenzialrechnen in Klasse 11

Hallo, ich habe folgende Frage:
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung des Schaubilds und der Änderungsrate im Intervall [a;b]?
Die Änderungsrate entspricht in diesem Fall der Sekantensteigung, aber ich sehe da keinen direkten Zusammenhang. DIe Steigung eines Schaubilds schaut man an verschiedenen Punkten an und die Sekantensteigung ist ein ganzer Abschnitt.
Ich wäre dankbar für Rückmeldung! smile

23.02.2010, 18:24

system-agent

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Für die Sekante brauchst du zwei verschiedene Punkte, zum Beispiel im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ kannst du $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verwenden [sofern diese nicht gleich sind] und dann kriegst du die Sekantensteigung durch
$\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ .

Die Ableitung gibt nicht die Steigung einer Sekante an, sondern die Steigung der Tangente an einem Punkt [also braucht man hier nicht mehr zwei Punkte wie für eine Sekante].

In dem Sinne macht es nicht einmal viel Sinn, nach dieser vielzitierten "Änderungsrate" zu fragen. Eine Änderungsrate braucht zwei verschiedene Punkte.
Die Steigung eines Schaubildes ist aber eben die Ableitung, also die Steigung in einem gewissen Punkt.

23.02.2010, 20:21

Eurydike

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Vielen Dank erstmal für die Antwort.

Nun ist es aber so, dass ich mir die Frage nicht ausgedacht habe, sondern das ist eine der Fragen der Hausaufgabe. Also m u s s es irgendeinen Zusammenhag geben zwischen Änderungsrate und Steigung des Schaubilds.

23.02.2010, 21:48

system-agent

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Es gibt einen gewissen Zusammenhang, wenn man das unbedingt so sehen will:
Angenommen wir betrachten die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und das Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ .
Nun wie ist die Änderungsrate in diesem Intervall? [Sekante!]

Was passiert nun, wenn man $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ immer näher an $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nimmt? Präziser:
Was passiert für $\begin{eqnarray*} b\to a \end{eqnarray*}$ mit der Änderungsrate? [Betrachte den Limes.]
Zu was wird also die Änderungsrate?

24.02.2010, 16:52

Eurydike

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Wenn man b immer näher an a ranrückt, dann ist b fast a und somit ist die Änderungsrate die Tangentensteigung im Punkt P(a) f(a) :

$\begin{eqnarray*} f'(a) = lim b ->a = (f(b)-f(a))/(b-a) \end{eqnarray*}$

Das heißt, dass die Änderungsrate in diesem Punkt der Steigung entspricht. Aber das ist doch dann die lokale Änderungsrate, oder?

24.02.2010, 17:43

system-agent

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Zitat:

Original von Eurydike
Das heißt, dass die Änderungsrate in diesem Punkt der Steigung entspricht. Aber das ist doch dann die lokale Änderungsrate, oder?

Ja, genau, mit anderen Worten: die Ableitung.
Du solltest aber immer im Hinterkopf haben:
Für jede Funktion kannst du eine "Änderungsrate" kriegen, das heisst die Sekantensteigung.
ABER: Nicht jede Funktion hat auch eine Ableitung in jedem Punkt! (*)

Noch etwas zur Schreibweise:
Es muss
$\begin{eqnarray*} \lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$
heissen.
Nachdem was ich in (*) gesagt habe, kann dieser Grenzwert existieren oder nicht, das hängt vom Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und von der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ab.
Falls er existiert, dann nennt man ihn die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und erst dann kannst du $\begin{eqnarray*} f'(a) \end{eqnarray*}$ schreiben.

24.02.2010, 19:18

Eurydike

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Vielen Dank! smile

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