Quotientenkriterium und Faktorielle kürzen ?

24.02.2010, 09:52

John007

Quotientenkriterium und Faktorielle kürzen ?

Ich bin für jede hilfe dankbar smile

Meine Angabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(n!)^{2}*3^{n} }{2 n!} \end{eqnarray*}$

Das ist meine Lösung zu an+1 (ich benutze das QKriterium

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{((n+1)!)^{2} *3^{n+1} }{(2 n+1)!} \end{eqnarray*}$

Das steht in der Lösung aber warum der 2er statt dem 1er?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{((n+1)!)^{2} *3^{n+1} }{(2 n+2)!} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Lösung aus dem Lösungsheft benutze muss ich später die Faktorielle kürzen und dazu entwickelt das Lösungsheft wie folgt, ich kann da aber nicht ganz vollgen traurig

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(2n+2)!} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{ 2 *(2n+1)*(2n+1)*(2n)!} \end{eqnarray*}$

24.02.2010, 10:00

klarsoweit

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RE: Quotientenkriterium und Faktorielle kürzen ?

Zitat:

Original von John007
Das steht in der Lösung aber warum der 2er statt dem 1er?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{((n+1)!)^{2} *3^{n+1} }{(2 n+2)!} \end{eqnarray*}$

Das kann ich mir ehrlich gesagt nicht vorstellen. Was soll das Summenzeichen davor?
Am besten schreibst du mal ordentlich hin, was beim Quotientenkriterium zu berechnen ist.

24.02.2010, 10:32

John007

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Sorry fehler von mir das Summenzeichen gehört nicht da hin Hammer

$\begin{eqnarray*} QK=\frac{a_{n+1} }{a_{n} } \end{eqnarray*}$ Regel für QK

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{(n!)^{2}*3^{n} }{2 n!} \end{eqnarray*}$

Das ist meine Lösung
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{((n+1)!)^{2} *3^{n+1} }{(2 n+1)!} \end{eqnarray*}$

Das ist die Lösung aus dem Lösungsheft
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{((n+1)!)^{2} *3^{n+1} }{(2 n+2)!} \end{eqnarray*}$

24.02.2010, 11:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von John007
Das ist meine Lösung
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{((n+1)!)^{2} *3^{n+1} }{(2 n+1)!} \end{eqnarray*}$

Ersetze ordentlich jedes n durch (n+1). Dann kommst du auch auf den Ausdruck, der in der Lösung steht.

24.02.2010, 11:52

John007

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Danke das geht jetzt aber das mit der Entwicklung

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(2n+2)!} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{ 2 *(2n+1)*(2n+1)*(2n)!} \end{eqnarray*}$

versteh ich nicht aber mein Ti machts auch

24.02.2010, 11:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von John007
Also wäre

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{(n!)^{2}*3^{n} }{3 n!} \end{eqnarray*}$ dann wäre
das das Ergebniss

War da nicht immer eine 2 im Nenner? verwirrt

Es ist noch zu klären, was mit 2n! gemeint ist. Wenn man auf die Lösung schielt, scheint es eher das zu sein: (2n)!

24.02.2010, 12:10

Philipp Imhof

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Zitat:

Original von John007
Danke das geht jetzt aber das mit der Entwicklung

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(2n+2)!} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{ 2 *(2n+1)*(2n+1)*(2n)!} \end{eqnarray*}$

versteh ich nicht aber mein Ti machts auch

Der Nenner ist $\begin{eqnarray*} (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)\cdots3\cdot2\cdot1=(2n+2)(2n+1)(2n)! \end{eqnarray*}$

Und ausserdem ist $\begin{eqnarray*} 2(2n+1)=4n+2>2n+2 \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen n.

Damit ist also $\begin{eqnarray*} 2\cdot(2n+1)\cdot(2n+1)(2n)!>(2n+2)! \end{eqnarray*}$ und bei gleichbleibendem Zähler bedeutet ein grösserer Nenner.....

24.02.2010, 12:50

John007

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Damit ist also $\begin{eqnarray*} 2\cdot(2n+1)\cdot(2n+1)(2n)!>(2n+2)! \end{eqnarray*}$ und bei gleichbleibendem Zähler bedeutet ein grösserer Nenner.....[/quote] ..... das Ergebniss wird kleiner

Ich versteh aber diese Nenner entwicklung nicht ? Wie kommt man da hin?

$\begin{eqnarray*} (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)\cdots3\cdot2\cdot1=(2n+2)(2n+1)(2n)! \end{eqnarray*}$

24.02.2010, 13:03

klarsoweit

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Einfach die Definition der Fakultät anwenden. (2n+2)! bedeutet: schreibe alle natürlichen Zahlen von 2n+2 bis 1 auf und mache jeweils ein Multiplikationszeichen dazwischen. Augenzwinkern

24.02.2010, 17:20

John007

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DAnke für die super HILFE Freude

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