Kurvendiskussion mit Wurzel im Term

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24.02.2010, 16:18	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion mit Wurzel im Term Hallo, ich bin in meiner Vorbereitung auf folgende Funktion gestoßen und habe besten wissens dreimal abgeleitet^^allerdings befindet sich in diesem Term eine Wurzel und damit hatte ich noch keine Erfahrung. Wäre nett wenn ihr meine Rechnung prüft. f(x) = $\begin{eqnarray} 8x^{3} - \sqrt{x} + 6x^{2} -3 \end{eqnarray}$ f´(x) = $\begin{eqnarray} 24x^{2} - \frac{1}{2}x + 12x \end{eqnarray}$ f´´(x) = $\begin{eqnarray} 48x - \frac{1}{2} + 12 \end{eqnarray}$ f´´´(x)= $\begin{eqnarray} 48 \end{eqnarray}$ bitte mal prüfen :-) dankö
24.02.2010, 16:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Ableitung stimmt schon nicht, es ist $\begin{eqnarray} \left[ \sqrt{x} \right]' = \frac 1{2\sqrt x} \end{eqnarray}$ .
24.02.2010, 16:54	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
warum rutscht die $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ in den Nenner ? für $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ kann man ja $\begin{eqnarray} x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ schreiben, wenn ich den x nun mit dem Exponenten multipliziere bekomme ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x \end{eqnarray}$ was amche ich falnsch oder wo sind die Wissenslücken die noch aufgefüllt werden müssen ?
24.02.2010, 16:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst den Exponenten um 1 verringern
24.02.2010, 17:03	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
uii ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^{\frac-{1}{2} } \end{eqnarray}$ ^^ damit der Exponent jetzt nicht negativ ist hast du es in einen Bruch umgewandelt ja ? wenn ich das dann nochmal ableite bekomme ich doch $\begin{eqnarray} x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ ?
24.02.2010, 17:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht alles durcheinander werfen. $\begin{eqnarray} \left[\sqrt x\right]'=\left[x^{\frac 12}\right]' = \frac 12 x^{\frac 12-1}=\frac 12 x^{-\frac 12} \end{eqnarray}$ Jetzt brauchen wir die Potenzregeln, $\begin{eqnarray} a^{-b}=\frac {1}{a^b} \end{eqnarray}$ .
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24.02.2010, 17:19	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
muss man es dann als solche potenz schreiben damit der Exponent positiv wird ? ist es dann ratsam für die 2 Ableitung mit dem negativen Exponenten weiter zurechenen und danach das ganze im Bruch zu schreiben ? habs ebend ausprobiert und die 2 ableitung gebildet, tue ich das mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{2x^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray}$ rechne ich das aus und subtrahiere vom Exponenten 1 dann kommt was flasches heraus rechne ich die 1 plus den Exponenten stimmt es wieder. Meine Frage is ob sich Ableitungsregel $\begin{eqnarray} a\times x^{a-1} \end{eqnarray}$ im Exponenten zu +1 wandelt wenn es unter dem Bruchstrich stattfindet
24.02.2010, 17:27	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit du einen positiven Exponten hast, ja. Du kannst das im Nenner dann auch wieder als Wurzel schreiben. Wenn du das jetzt wieder ableiten willst, ist es am einfachsten das wieder mit einem negativen Exponenten zu schreiben und genau die gleiche Regel wieder anzuwenden.
24.02.2010, 17:59	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann lautet also die 2 ableitung f´ $\begin{eqnarray} 24x^2- \frac{1}{2} x^-{\frac{1}{2} }+12x \end{eqnarray}$ f ´´ $\begin{eqnarray} 48+ \frac{1}{2} x^-{\frac{3}{2} } \end{eqnarray}$ f´´´ $\begin{eqnarray} - \frac{3}{4} x^-{\frac{5}{2} } \end{eqnarray}$ jetzt komme ich aber auf keinen grünen zweig (sollte jetzt alles richti gsein) ich habe gehört wenn die 3 ableitung nicht 0 ist dann gibt es irgendwie nen Sattelpunkt oder sowas ?
24.02.2010, 18:07	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du an die zweite Ableitung? Poste da bitte mal deine Rechenschritte. Und überprüf deinen Latexcode, die Exponenten müssen in geschweifte Klammern {} geschrieben werden, damit das richtig dargestellt wird.
24.02.2010, 18:25	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 48x + \frac{1}{2}x^{\frac{-3}{-2} } + 12 \end{eqnarray}$ hab die 12 vergessen vorhin $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^{\frac{-3}{-2} } \end{eqnarray}$ bekomme ich heraus wie folgt... -1/2 x -1/2 = 1/2 = Zahl vor dem x -1/2 - 1 = -3/2 = neuer Exponent
24.02.2010, 18:32	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Leiten wir das mal Schritt für Schritt ab (nur die Wurzel, der Rest stimmt soweit): $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac {1}{2\sqrt x}=\frac 1{2x^{\frac 12}} \end{eqnarray}$ , das formen wir uns um und bekommen $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac 12 x^{-\frac 12} \end{eqnarray}$ , bis hier hin alles klar? Jetzt wenden wir die Exponentenregel an, ziehen also den Exponenten als Faktor nach vorne und verringern den Exponenten um 1: $\begin{eqnarray} f''(x)= (-\frac 12) \cdot \frac 12 x^{-\frac 12 -1}= - \frac 12 \cdot \frac 12 x^{-\frac 32} \end{eqnarray}$ . Ich vermute du hast einen Fehler beim Anwenden dieser Regel eingebaut. Wenn du mal deine komplette Rechnung posten würdest, könnte man den vllt. auch finden.
24.02.2010, 18:43	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
ja soweit is klar ^^ stimmt das sind ja 1/4 ^^
24.02.2010, 18:45	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann haben wir also die erste Ableitung. Jetzt wende das gleiche Schema mal an um die zweite Ableitung zu bestimmen.
24.02.2010, 19:16	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{7}{4}x^{\frac{-5}{-2} } \end{eqnarray}$ ^^sop
24.02.2010, 19:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da stimmt etwas nicht. Wie hast du die Ableitung gebildet? Poste doch direkt deine Rechenschritte, dann ist die Fehlersuche leichter.
24.02.2010, 19:38	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{3}{8}x^{-2\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ jetzt aber ^^ hatte nen zahlendreher drinne
24.02.2010, 19:40	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt stimmts (Das ist natürlich nicht die ganze Ableitung sondern nur der Wurzelterm, aber der Rest dürfte ja kein Problem sein )
24.02.2010, 20:08	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
wie gehts denn eigentlich weiter ? wie weiter oben schon mal gesgat habe ich gehört das es einen Sattelpunkt gibt sollte ab der 3 ableitung keine 0 raus kommen, wa sist da dran und was trifft auf unsere Funktion zu ?
24.02.2010, 20:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Für einen Sattelpunkt gibt es verschiedene Bedingungen. Der Graph hat für eine Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ einen Sattelpunkt wenn gilt: $\begin{eqnarray} f'(x_0)=f''(x_0)=0 \wedge f''(x_0)\neq0 \end{eqnarray}$ .
26.02.2010, 15:17	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
sooo, hallöchen ich schreib mal ebend die komplette dritte Ableitung hierher f´´´(x)= $\begin{eqnarray} 48-\frac{3}{8}x^{-2\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ ich habe bisher nur mit normalen Sachen Erfahrung...sprich an dieser stelle wäre nur eine 48 oder die Null. wie soll ich das jetzt interpretieren und in meine Kurvendiskussion berücksichtigen ? Schließlich ist das x imme rnoch da und es wird da auch sicher nicht so schnell weg kommen:-)
26.02.2010, 15:42	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die in der notwendigen Bedingung errechneten x-Werte einsetzen Dann "verschwindet" auch das x.
26.02.2010, 16:18	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
wie meinen ? was soll ich für x den einsetzen ?
26.02.2010, 16:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bestimmst ja die möglichen Extremstellen, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung berechnest, um das ganze zu überprüfen musst du deine errechneten Werte noch in die zweite Ableitung einsetzen.
26.02.2010, 16:25	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
die reinen NS rechne ich ja mit der Grundfunktion aus ^^ Die Extrema mit der ersten Ableitung und den WP mit der zweiten Ableitung können wir erst mit den NS weitermachen ? Hierzu würde ich die Zahlen -1,+1 -2+2 -3+3 einsetzen und bekomme vlt eine NS heraus mit der ich dann Polynomdivison durchführen kann. An dem Punkt muss ich sagen das ich für solche Aufgabe wo Subsitution und normales umstellen nach x nicht mehr ausreicht, coll wäre wenn ihr mir ne andere Variante zeigen könntet.
26.02.2010, 16:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte entscheid dich mal, was du machen möchtest. Du hast eben mit der dritten Ableitung angefangen, jetzt sind es die Nullstellen der Ausgangsfunktion. Was willst du jetzt genau haben?
26.02.2010, 16:50	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde 1. gerne wissen was uns die 3 Ableitung offenbart (habe v. Sattelpunkt ect gehört) 2. würde ich gerne die Nullstellen anhand der Grundfunktion berechnen mit eienr neuen Technik oder so
26.02.2010, 17:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, so ist das doch schon klarer Die dritte Ableitung benötigt man für die hinreichende Bedingung der Wendepunkte; da Sattelpunkte besondere Wendepunkte sind, ist sie für diese natürlich auch wichtig, aber die dritte Ableitung hat nicht speziell was mit Sattelpunkten zu tun Was meinst du mit neuer Technik? Es gibt nicht allzuviele Techniken mit denen man das lösen kann, das ganze geht nur über ein numerisches Näherungsverfahren (Newton-Verfahren o.Ä.).
26.02.2010, 17:12	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
ok erstens is damit klar xD danke :-) also werde ich zahlen einsetzen bis ich letztendlich hinterdem = eine Null zu stehen habe ? Danach folgt Polynomdivision ja ?
26.02.2010, 17:18	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du wirst keine Zahl finden, es gibt nur eine Nullstelle und die ist nicht rational. Das geht nur über ein Näherungsverfahren, z.B. das Newton-Verfahren.
28.02.2010, 17:02	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
joa also ich hab mir da sNewtonsche Nährungsverahren mal angeguckt und möchte es nun auf unsere Funktion anwenden. Dazu erstelle ich mir so ne kleine Tabelle in der die Zahlen 1,-1,2,-2,3,-3 stehen...diese Zahlen habe ich für x in die Funktion eingesetzt. für x=1 kommt 10 heaus und für x=-1 = -4 bei den anderen kamen sehr hohe Werte raus für x=2 z.B. 83.5 laut dem Verfahren nimmt man aus der Wertetabelle den Wert der am nächsten zur 0 steht. Wäre ja die -4 $\begin{eqnarray} x_{1}= -1 \end{eqnarray}$ und die Grundformel lautet ja $\begin{eqnarray} x_{1} - \frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray}$ ist das soweit richtig ?
03.03.2010, 11:58	MikeMoeller	Auf diesen Beitrag antworten »
also folgende Schritte habe ich jetzt durchgespielt --------------------------------------------------------- Wertetabelle für x=1 in f(x) eingesetzt und den Wert 10 ausgerechnet x=-1 Wert= Error x=2 Wert = 83.58 x-2 Wert = Error x=3 = 265.26 x=-3 Wert = Error Fazit= kommt mir komsich vor aber da ich in der Funktion die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen muss gehts nicht anders. Da ich auch keine Erfahrung habe mit dieser Situation nehme ich es einfach naiv hin und mache weiter. Ich nehme nun für das Newtonsche Annährungsverfahren für x=1 da der Wert 10 am nähesten an der Null liegt. -------------------------------------- $\begin{eqnarray} x_{2} = 1 - \frac{10}{35\frac{1}{2} } [/latex)<br /> <br /> es ergibt sich dieser Term und damit habe ich für <br /> <br /> [latex] x_{2}= \frac{51}{71} \end{eqnarray}$ ausgerechnet ----------------------------------------- es geht weiter , ich habe jetzt gleich die errechneten werte aus der Fuktion eingesetzt $\begin{eqnarray} x_{3} = \frac{51}{71} - \frac{4.99}{20.41} [/latex)<br /> <br /> es kommt raus <br /> [latex] x_{3}= 0.47 \end{eqnarray}$ ist noch ok, wir nährne uns der null ------------------------------------------ $\begin{eqnarray} x_{2} = 0.47 - \frac{-1.52}{10.21} [/latex)<br /> <br /> das erste mal rückt eine negative Zahl in den Zähler und <br /> <br /> das Ergebniss <br /> <br /> [latex] x_{4}= 0.61 \end{eqnarray}$ wir entfernen uns von der Null heißt das jetzt es gibt keine Nullsteleln auf der x Achse ?

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