Konvergenzbeweis (Heron)

19.10.2006, 17:04	moinmoin	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzbeweis (Heron) Moin! die Folge $\begin{eqnarray} a_n=\frac{1}{2} (a_{n-1}+ \frac{1}{a_{n-1}} ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1 > 0 \end{eqnarray}$ soll auf konvergenz und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray}$ untersucht werden. Mein Problem ist, dass die Folge rekursiv ist. der Beweis in meiner Literatur ist sehr umständlich welches ist hier das geschickteste Verfahren um die Konvergenz zu beweisen? bzw. allgemein bei rekursiven Folgen?! weiter steht in der Literatur: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n=a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=\frac{1}{2} (a+ \frac{1}{a} ) \end{eqnarray}$ nach welcher Regel?! nur bei rekursiven Folgen? Bitte um Erklärung/Hilfe
19.10.2006, 17:14	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzbeweis (Heron) kann man nicht eine annahme tätigen das Lim an =a = Lim an-1 diese grenzwerte müssen ja übereinstimmen. nun setzt du das ein wie du es getan hast und kriegst dann etwas für a raus...
19.10.2006, 17:31	moinmoin	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_n = \lim_{n \to \infty } a_{n-1}= a \end{eqnarray}$ leuchtet mir ja noch ein, aber warum kann man dann a so einfach einsetzen?! edit: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_n = \lim_{n \to \infty } a_{n-1}=\lim_{n \to \infty } a_{n\pm p}= a \end{eqnarray}$ deshalb, oder?!
19.10.2006, 17:39	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
sagen wir mal du dein n ist schon sehr sehr groß - du hast also schon fast unendlich viele Glieder deiner Folge ausgerechnet. Wenn deine Folge gegen a konvergiert, dann heißt das doch, dass der Abstand $\begin{eqnarray} \| a_n - a \| < \epsilon \end{eqnarray}$ wird, für jedes epsilon > 0. Daher sind irgendwann deine a_n "fast" so groß wie a. Wenn du jetzt n gegen unendlich schickst muss sich ja in dieser Gleichung so etwas wie ein Gleichgewicht eingestellt haben, und dass drückst du damit aus, dass du a einsetzt. ( du kannst so auch berechnen, wie groß der Grenzwert ist, falls die Folge konvergiert - das musst du allerdings extra zeigen!!! )
19.10.2006, 17:57	moinmoin	Auf diesen Beitrag antworten »
ja Danke natürlich für eure Hilfe schonmal! @sunwater deine Herangehensweise kann ich mir vorstellen (die Epsilon Regel ist mir bekannt) nur habe ich irgendwie Vorstellungsmäßig ein Problem dass ich $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ nicht explizit ausrechnen kann, da es ja rekursiv ist und ich somit alle "n's" rekonstruieren müsste... bei den rekursiven beißt sich der Hund in den Schwanz, das überreiß ich nicht.. ich hätte gern ein zwei Zeilen mit denen ich den schritt von $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} a= \frac{1}{2}(a+ \frac{1}{a}) \end{eqnarray}$ komme... den Grenzwert ausrechnen geht dann rel. flott das mit dem Gleichgewicht verstehe ich nicht ganz...
19.10.2006, 18:35	moinmoin	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin auch zu *** zum suchen... rekursiv def. Folge danke nochmal für die Hilfe!
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