Symmetrische Gruppe, Normalteiler

24.02.2010, 20:03	sundi	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppe, Normalteiler Ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht voran: Man zeige, dass die $\begin{eqnarray} S_5 \end{eqnarray}$ als einzigen nichttrivialen Normalteiler die $\begin{eqnarray} A_5 \end{eqnarray}$ besitzt. Ich wollte so anfangen: Angenommen, es gibt noch einen weiteren Normalteiler $\begin{eqnarray} N \unlhd S_5 \end{eqnarray}$ . Wir wissen schon, dass die $\begin{eqnarray} A_5 \end{eqnarray}$ eine einfache Gruppe ist, und der Schnitt von Normalteilern wieder Normalteiler ist. Also muss $\begin{eqnarray} N \cap A_5 = \{e\} \end{eqnarray}$ sein. Das ist noch nicht sehr viel und ich komme schon nicht mehr weiter Ich hatte mir erst noch gedacht, dass vielleicht $\begin{eqnarray} S_5 = A_5 \times N \end{eqnarray}$ gilt. Aber wie man dann weiter machen würde ist mir auch nicht so klar. Und ob das überhaupt gilt weiß ich auch nicht. Hat vielleicht jemand eine bessere Idee? LG, sundi
25.02.2010, 00:40	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi sundi, Sieht doch bisher ganz gut aus. Schau Dir mal die Ordnungsformel für das Produkt zweier Untergruppen an. Welche Ordnung kann $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ nur haben? Das kann man dann auf vielfältigste Arten zum Widerspruch führen. Gruß, Reksilat.
26.02.2010, 20:36	sundi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja: Wegen dem trivialen Schnitt ist $\begin{eqnarray} \|A_5 N\| = \|A_5\| \cdot \|N\| \end{eqnarray}$ , und da ja beides Untergruppen der $\begin{eqnarray} S_5 \end{eqnarray}$ sein sollen, muss $\begin{eqnarray} \|N\|=2 \end{eqnarray}$ und dann gilt ja schon $\begin{eqnarray} S_5 = A_5 \times N \end{eqnarray}$ . Dann muss $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ eine Transposition enthalten. Ich bräuchte aber nochmal einen Tipp. Muss man jetzt nachrechnen, dass $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ dann kein Normalteiler sein kann? LG, sundi
26.02.2010, 20:39	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau Dir doch mal einen Normalteiler der Ordnung 2 an, der sieht so aus: $\begin{eqnarray} N=\{1,x\} \end{eqnarray}$ Da der normal ist, gilt für alle $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} x^g\in N \end{eqnarray}$ . Welche Eigenschaft hat dieses $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ also?
26.02.2010, 20:58	sundi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit dem neutralen Element überein? Entweder ist $\begin{eqnarray} x^g=e \end{eqnarray}$ , das ist klar. Oder $\begin{eqnarray} x^g=x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} g \in S_5 \end{eqnarray}$ . Da die $\begin{eqnarray} S_5 \end{eqnarray}$ aber ein triviales Zentrum besitzt, muss auch dann $\begin{eqnarray} x=e \end{eqnarray}$ gelten. LG sundi
27.02.2010, 02:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} \|N\|=2 \end{eqnarray}$ ist, dann kann $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ natürlich nicht mit dem neutralen Element übereinstimmen. Wenn Du zeigen kannst, dass dann immer $\begin{eqnarray} x^g=x \end{eqnarray}$ ist,bist Du fertig. Gruß, Reksilat.
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27.02.2010, 11:53	sundi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das meinte ich eigentlich als Widerspruch. Ist es so besser: Falls $\begin{eqnarray} x^g=e \end{eqnarray}$ , dann muss schon $\begin{eqnarray} x=e \end{eqnarray}$ gelten. Falls also $\begin{eqnarray} x \neq e \end{eqnarray}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray} x^g=x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} g \in S_5 \end{eqnarray}$ . Und wegen dem trivialen Zentrum kann es so ein $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ nicht geben. LG, sundi

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