Konvergenzbeweis

25.02.2010, 07:07

AndrewWiles

Konvergenzbeweis

Komme schon wieder nicht weiter, es geht um einen Beispielbeweis zur Konvergenz (Forster Ana 1 4.3). Hier steht Folgendes:

Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)=(-1)^n, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ divergiert.
Beweis. Angenommen, die Folge konvergiert gegen eine reele Zahl a. Dann gibt es nach Definition zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon:=1 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} |a_n-a|<1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$
[soweit bin ich noch am Ball]

Für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ gilt nach der Dreiecks-Ungleichung
$\begin{eqnarray*} 2=|a_{n+1}-a_n|=|(a_{n+1}-a)+(a-a_n)|\leq |a_{n+1}-a|+|a_n-a|<1+1=2 \end{eqnarray*}$ mit dem Widerspruch 2<2 endet der Beweis.

Das Addieren der Null, und die Dreiecks-Ungleichung erkenne ich, auch $\begin{eqnarray*} |a_n-a|< 1 \end{eqnarray*}$ als Kriterium. Aber der Anfang $\begin{eqnarray*} 2=|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ sagt mir überhauptnichts.

Wenn mir das wer erklären könnte...

25.02.2010, 07:22

Iorek

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Sei n gerade. Dann ist n+1 ungerade. Damit folgt: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=(-1)^{n+1} \stackrel {{n+1 \text{ ungerade}}}= {-1} \end{eqnarray*}$ . Analog zeigt man $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ . Was ist dann damit $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Analog zeigt man natürlich den Fall n ungerade.

25.02.2010, 07:26

AndrewWiles

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ungerade- gerade= ungerade

25.02.2010, 07:30

Kühlkiste

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RE: Konvergenzbeweis
Oder ohne Fallunterscheidung:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|=|(-1)^{n+1}-(-1)^n|=|(-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}|=2|(-1)^{n+1}|=2 \end{eqnarray*}$

25.02.2010, 07:31

Iorek

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Zitat:

Original von AndrewWiles
ungerade- gerade= ungerade

Was meinst du damit?

Der Weg von Kühlkiste ist auch schön, glaub für sowas ist es aber bei mir noch zu früh Augenzwinkern