limes über n-te Wurzel aus x

19.10.2006, 17:59

Olberlin

limes über n-te Wurzel aus x

Hallo zusammen,

ich grübele grade an einer Aufgabe:
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{x} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt, falls x aus R und x > 0.

Vorgehen: Benutze die Bernoullische Ungleichung nachdem Sie für x = $\begin{eqnarray*} (1 + (\sqrt[n]{x} - 1))^{n} \end{eqnarray*}$ eingesetzt haben.

So, ich fange mal an:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{x} \geq \sqrt[n]{1 + n * ( \sqrt[n]{x} - 1) } = \sqrt[n]{1 + n * \sqrt[n]{x} - n } \end{eqnarray*}$

und hier komme ich leider nicht weiter.

hat jemand einen tipp?

danke und gruss
oliver

19.10.2006, 18:44

sqrt(2)

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Ich verstehe den Tipp so:

$\begin{eqnarray*} x=(1+(\sqrt[n]{x}-1))^n\leq1+n(\sqrt[n]{x}-1) \end{eqnarray*}$

Ergibt eine schöne obere Schranke für $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ .

20.10.2006, 15:49

Olberlin

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Hallo,

den Tipp habe ich ja auch so umgesetzt, aber irgendwie komme ich hier nicht weiter. Wie geht der nächste Schritt?

Interessanterweise habe ich auf Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullisc...ichung#Beispiel eine Lösung gefunden, aber nur für x >= 1. Und in der Aufgabe ist von x > 0 die Rede.

Trotz intensiven Nachdenkens habe ich noch keinen Weg gefunden, den wikipedia-Lösungsweg auf x > 0 umzuformen. Oder geht die Lösung nicht für 1 > x > 0 ???

Danke für jede Hilfe,

viele Grüße
Oliver

20.10.2006, 16:42

therisen

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Den Fall $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ führt man durch Übergang zum Reziproken $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ auf den bereits bewiesenen Fall zurück. Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} \lim \sqrt[n]{x} = \left(\lim \sqrt[n]{x^{-1}} \right)^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

20.10.2006, 21:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von sqrt(2)
$\begin{eqnarray*} x=(1+(\sqrt[n]{x}-1))^n\leq1+n(\sqrt[n]{x}-1) \end{eqnarray*}$

Hmm. Geht bei der Bernoullischen Ungleichung das Ungleichheitszeichen nicht in die andere Richtung?

20.10.2006, 21:18

sqrt(2)

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Jap, Fehler, sorry.

21.10.2006, 18:58

Olberlin

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Hallo therisen,

danke für die Antwort - das klingt toll :-) !!!

Gibt es zufällig einen Satz, der beweist, dass ich diese Umformung machen kann? Nicht, dass mein Prof die Lösung nicht anerkennt.

vielen Dank für die Hilfe und viele Grüße
Oliver

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