Lineares Gleichungssystem lösen

25.02.2010, 11:51

rambotnik

Lineares Gleichungssystem lösen

hey,
ich habe mal ne frage wie ich folgendes lgs löse:

a=b?cos(x)-c?cos(y)
d=b?sin(x)+c?sin(y)

a,b,c,d sind vorgegeben und ich möchte das lgs nach x und y auflösen.

danke im voraus

gruss

25.02.2010, 13:16

rambotnik

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RE: Lineares Gleichungssystem lösen
die Fragezeichen sind Multiplikationszeichen.
bitte bitte helft mir, da es drängt.

gruß

25.02.2010, 14:29

riwe

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RE: Lineares Gleichungssystem lösen

Zitat:

Original von rambotnik
hey,
ich habe mal ne frage wie ich folgendes lgs löse:

a=b?cos(x)-c?cos(y)
d=b?sin(x)+c?sin(y)

a,b,c,d sind vorgegeben und ich möchte das lgs nach x und y auflösen.

danke im voraus

gruss

$\begin{eqnarray*} a+c\cdot cosy=b\cdot cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a-c\cdot siny=b\cdot sinx \end{eqnarray*}$

und das würde ich nun quadrieren, womit man schnell auf $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kommt

25.02.2010, 14:52

rambotnik

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ich steh grad voll auf dem schlauch. wie kommst du auf die zweite zeile oder meinst du ein d vorne?
und wie meinst du das mit dem quadrieren. ich wär dir echt dankbar wenn du mir das ergebnis schreiben könntest.

gruß

25.02.2010, 15:12

Ehos

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RE: Lineares Gleichungssystem lösen
Schreib Dein Gleichungssystem mit Hilfe der Formel $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\pm \sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \end{eqnarray*}$ in folgender Form auf:

$\begin{eqnarray*} a=b \cdot \sqrt{1-\sin^2(x)}-c\cdot \sqrt{1-\sin^2(y)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d=b \cdot \sin(x)+c\cdot \sin(y) \end{eqnarray*}$

Jetzt hast Du nur noch zwei Variablen $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(y) \end{eqnarray*}$ . Stell' die zweite Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \sin(y) \end{eqnarray*}$ um und setze das in die erste Gleichung ein. Dann hast Du nur noch eine Gleichung für $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich will nicht behaupten, dass diese Methode besonders einfach und einfallsreich ist. Aber im Prinzip geht es so.

25.02.2010, 15:39

riwe

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Zitat:

Original von rambotnik
ich steh grad voll auf dem schlauch. wie kommst du auf die zweite zeile oder meinst du ein d vorne?
und wie meinst du das mit dem quadrieren. ich wär dir echt dankbar wenn du mir das ergebnis schreiben könntest.

gruß

ja natürlich ein d, copy and paste gehört in die hölle unglücklich

$\begin{eqnarray*} a+c\cdot cosy=b\cdot cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d-c\cdot siny=b\cdot sinx \end{eqnarray*}$

quadrieren und addieren ergibt:

$\begin{eqnarray*} (a+c\cdot cosy)^2+(d-c\cdot siny)^2=b^2 \end{eqnarray*}$

jetzt ist das x weg und du hast eine trigonometrische gleichung in y

25.02.2010, 18:10

rambotnik

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Zitat:

Original von riwe

quadrieren und addieren ergibt:

$\begin{eqnarray*} (a+c\cdot cosy)^2+(d-c\cdot siny)^2=b^2 \end{eqnarray*}$

jetzt ist das x weg und du hast eine trigonometrische gleichung in y

und wie bekomme ich da das y isoliert sodass ich es berechnen kann?

gruß

25.02.2010, 19:32

riwe

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Zitat:

Original von rambotnik

Zitat:

Original von riwe

quadrieren und addieren ergibt:

$\begin{eqnarray*} (a+c\cdot cosy)^2+(d-c\cdot siny)^2=b^2 \end{eqnarray*}$

jetzt ist das x weg und du hast eine trigonometrische gleichung in y

und wie bekomme ich da das y isoliert sodass ich es berechnen kann?

gruß

na entschuldige, was hat denn das in hochschulmathematik verloren,
wenn du das (auch) nicht weißt.
quadrieren und anschließend auf @ehos zurückgreifen.
jetzt mache einmal selber etwas,
ist ja schließlich DEIN problem unglücklich

25.02.2010, 21:37

rambotnik

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RE: Lineares Gleichungssystem lösen
ich bin noch nur ne arme geowissenschaftsstudentin.
ich weiß dass ich das niemals brauche in meinem job.
was meinst du mit "@ehos"? ist das ein programm, welches mir die gleichung auflöst?

gruß

25.02.2010, 22:12

Armada

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RE: Lineares Gleichungssystem lösen
@ehos ist der aus dem früheren Post!
Lies doch bitte die Tipps mal ordentlich durch.
Braucht man denn bei Geowissenschaften nur Bohrstangen, um nach Öl zu suchen?

25.02.2010, 22:34

wisili

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RE: Lineares Gleichungssystem lösen
@rambotnik
Du hast völlig recht mit der Frage nach einem Programm. Eine trigonometrische Gleichung, wie die vorliegende löst heutzutage kein Berufsmensch mehr von «Hand», dazu gibt es CAS. Man darf in der Ausbildung erwarten, dass der Student im Prinzip weiss, wie es geht. Aber kein Hochschullehrer wird die Handrechnung wirklich verlangen.

25.02.2010, 22:46

rambotnik

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@armada
ich komme beim quadrieren auf einen ewig langen term:

(a+c*cosy)^4+2*(a+c*cosy)²*(d-c*siny)²+(d-c*siny)²=b^4

wie kann ich da ehos` umformung einsetzen, sodass ich y isolieren kann? das wird doch immer länger.
@wisili

ich habe sowas noch nicht rechnergestützt gelöst und nur von solchen programmen gehört. mir würde im vorliegenden fall auch das ergebnis reichen. kannst du ein programm empfehlen?

gruß

26.02.2010, 09:53

wisili

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Du hast den Tipp mit «Quadrieren» falsch verstanden: Du sollst die bereits vorhandenen binomischen Quadrate AUSMULTIPLIZIEREN (die Summanden mit (c siny)² und (c cosy)² ergänzen sich hernach zu c²). Es bleibt ein siny- und ein cosy-Term. Dann brauchst du ehos Ersetzung (z.B. des cos y) mit der Wurzel. Dann die Wurzel isolieren, quadrieren. usw. Schliesslich ist Quadrieren keine Aequivalenzumformung, sodass die so gefundenen «Lösungen» in der Originalgleichung überprüft werden müssten ...

Mathematica-Ergebnis:

[attach]13629[/attach]

Die 8 «Lösungen» unterscheiden sich nur in der Variation von 3 Vorzeichen. Die erste erscheint deshalb hier nochmal, etwas grösser:

[attach]13630[/attach]

Mathematica warnt noch:

[attach]13631[/attach]

26.02.2010, 10:35

riwe

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RE: Lineares Gleichungssystem lösen

Zitat:

Original von rambotnik
ich bin noch nur ne arme geowissenschaftsstudentin.
ich weiß dass ich das niemals brauche in meinem job.
was meinst du mit "@ehos"? ist das ein programm, welches mir die gleichung auflöst?

gruß

na dann nehme ich alles zurück,
das ganze ist sowieso ein ziemliches miststück unglücklich

ich habe es zu fuß gerechnet und habe folgendes ergebnis:

mit den abkürzungen

$\begin{eqnarray*} A=\frac{a^2-b^2+c^2+d^2}{2c}\quad{ }w=\sqrt{a^2+d^2-A^2} \end{eqnarray*}$

bekomme ich

$\begin{eqnarray*} cosy=\frac{-Aa\pm w}{a^2+d^2}\wedge cosx=\frac{a+c\cdot cosy}{b}\quad{ }b\neq 0 \end{eqnarray*}$

test mit a=0.9, b=1.5, c=2.0 und d =0.5
ergibt
x=2.303192 (131.963°) und x = 3.454348 (197.920°)
die probe stimmt

aber beachte bitte die anmerkung von wisili:
quadrieren ist keine äquivalenzumformung, das kommt hier sehr zum tragen Augenzwinkern

26.02.2010, 12:31

rambotnik

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RE: Lineares Gleichungssystem lösen
ich bin kurz vorm verzweifeln. habe grad 2h alle kombinationen durchgerechnet aber eure beiden methoden liefern kein ergebnis.
ich habe folgende werte:

a 85.10830089
b 97.1
c -95.1
d -40.08099704

dabei soll x = 0.6 und y = 1.52 rauskommen

@wisi

ich bekomme in den wurzeln immer negative werte

@RIWE

ich komme auf

A -44.50846059
w 82.87886425
cosy -0.487647203
cosx 1.35410453
y 2.080189099
x #ZAHL!

was mache ich falsch?

gruß

26.02.2010, 13:18

wisili

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RE: Lineares Gleichungssystem lösen
[attach]13632[/attach]

26.02.2010, 13:30

rambotnik

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man excel hat das "-b3" nicht als negativen wert gesehen. ich hab jetzt (-1)*b3 geschrieben und es geht.
wie heißt das programm, mit dem du das alles herausbekommst?
mir reichen ja immer die ergebnisse. der weg ist egal also gern numerisch.

gruß

26.02.2010, 13:33

wisili

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Wie oben erwähnt: «Wolfram Mathematica 7».

26.02.2010, 16:09

riwe

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a 85,10830089 c -95,10000000
b 97,10000000 d -40,08099704

cos y 0,052675 1,518097 86,980528
cos x 0,824911 0,600751 34,420512

probe (I) 0,000000
probe (II) 0,000000

das sind meine ergebnisse in EXCEL

also $\begin{eqnarray*} x=0,600751\quad y=1,518097 \end{eqnarray*}$

bitte achtung: in meinem obigen beitrag ist ein tippfehler, den ich schon korrigiert habe.
es muß im zähler $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ heißen, also

$\begin{eqnarray*} cosy=\frac{-Aa\pm w}{a^2+d^2} \end{eqnarray*}$

26.02.2010, 18:49

wisili

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2. Lösung: x = - 1.4810141296502912, y = - 0.6378337310541731.

27.02.2010, 19:57

riwe

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Zitat:

Original von wisili
2. Lösung: x = - 1.4810141296502912, y = - 0.6378337310541731.

habe ich auch Augenzwinkern

28.02.2010, 20:38

rambotnik

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ich habe jetzt mal die zeile in mathematica 7 eingegeben wie du es gemacht hast, aber er gibt mir die lösung nicht aus. was muss ich klicken, damit er mir das gleichungssytem löst?

grüße

28.02.2010, 21:13

rambotnik

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hat sich erledigt. ich habs jetzt hinbekommen.
das programm wird mir bestimmt helfen.

grüße und besonderen dank an wisili

28.02.2010, 21:15

wisili

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[attach]13675[/attach]

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