Tangente einer Kurve

25.02.2010, 15:03

TERMG

Tangente einer Kurve

Hallo, habe das Forum leider erst jetzt entdeckt...
Hoffe ihr könnt mir helfen.

Die Aufgabe lautet: Ermitteln Sie für die Kurve K
z=f(x,y)=X^2-4xy+2y^2+2=0 diejenigen Punkte der (x,y)-Ebene
bei denen K waagerechte bzw. senkrechte Tangenten besitzt!

Ich nehme an ich müsste als erstes Die Ableitung nach x und die nächste nach y bilden, oder?

DANKE

26.02.2010, 03:07

mYthos

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Zur Bestimmung der horizontalen Tangenten ist die Funktion implizit (von y) nach x zu differnzieren (Produkt- & Kettenregel!) und Null zu setzen. Analog erhalten wir durch Nullsetzen der Ableitung von x nach y jene Stellen, in denen die Tangenten senkrecht verlaufen.

$\begin{eqnarray*} x^2 - 4xy + 2y^2 + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x - 4y - 4xy' + 4yy' = 0 \end{eqnarray*}$

Berechne daraus y' und setze den Term* gleich Null. Die daraus bezogene Gleichung ist in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen und liefert damit die in Frage kommenden Stellen.

*)
Dieser Term ist ein Bruch. Wenn dessen Nenner Null gesetzt wird, liefert dies ebenso auch die Stellen der vertikalen Tangenten (warum?). Daher muss der Weg über die Ableitung von x nach y nicht unbedingt gegangen werden bzw. dient dieser dann nur zur Kontrolle.

[attach]13628[/attach]

Ein anderer - einfacherer und sicher eleganterer - Weg besteht darin, die einzelnen partiellen Richtungsableitungen Null zu setzen. Dabei kommt man sofort zu den entsprechenden Gleichungen, die, in die Funktionsgleichung eingesetzt, die fraglichen Stellen liefern:

$\begin{eqnarray*} z(x,y) = x^2-4xy+2y^2+2 = 0 \quad \rightarrow \frac {\partial z}{\partial x} = 0 \ \text {bzw.} \ \frac {\partial z}{\partial y} = 0 \end{eqnarray*}$

mY+

26.02.2010, 12:07

TERM-G

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hallo mythos,

die erste möglichkeit sagt mir nichts. die untere aber schon.
wäre es denn so richtig? :

erste ableitung nach x := 2x - 4y = 0
erste ableitung nach y:= 4y - 4x = 0

jetzt habe ich 2 gleichungen mit 2 unbekannten.
daraus x=0 y=0

diese Punkte in die Gleichung eingesetzt ergibt : Z = 2

Also der Punkt ist (0/0/2)

richtig?

26.02.2010, 12:36

mYthos

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Dein Problem gliedert sich doch in zwei getrennte Abschnitte:

a) Tangenten horizontal
b) Tangenten vertikal

Die dabei gewonnen Gleichungen können daher nicht "gemischt" werden. Also gilt für

a)
2(x - 2y) = 0

--> in die Funktionsgleichung einsetzen --> Stellen der horizontalen Tangenten

und

b)
4(y - x) = 0

--> in die Funktionsgleichung einsetzen --> Stellen der vertikalen Tangenten

In der Grafik (Kurve liegt in der x-y - Ebene) siehst du ja auch, welche Punkte sich letztendlich ergeben sollten (insgesamt 4) ... (z = 0 immer, bei allen Punkten, da die Kurve in der x-y - Ebene liegt)

mY+

27.02.2010, 09:15

TERM-G

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also müsste es so gehen, falls ich es richtig verstanden habe:

f(´x)= 2x - 4y Daraus folg: x = 2y

in die erste gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 2y^2 -8y^2 + 2y^2 +2 = 0 \end{eqnarray*}$

es kommt rasu Y = 1 und Y = -1

nochmal für
f(´y) = 4y - 4x = 0 Daraus folgt: x = y

es kommt raus y = + Wurzel 2
und y = - Wurzel 2

sind das die punkte? habe ichs richtig gemacht?

01.03.2010, 11:16

mYthos

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Ja, richtig. Du solltest noch alle 4 Punkte sauber mitsamt den Koordinaten als Ergebnis anschreiben.

mY+

01.03.2010, 17:09

WebFritzi

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Zitat:

Original von TERM-G
habe ichs richtig gemacht?

Frage ist, ob du auch verstanden hast, warum der zweite von mythos angegebene Weg funktioniert...

02.03.2010, 08:42

TERM-G

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danke mythos!

@WebFritzi WebFritzi. denke mal es ist das selbe wie bei eine funktion f(x), aber diesmal in einer ebene. die klausur ist geschrieben smile

habe es so gemacht, ausser die punkte noch richtig mit koordinaten angegeben ) aber dafür war eh keine zeit mehr)

06.05.2010, 20:25

Anonymer Knarzer

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Ich würde da gerne noch nachhaken, da ich vor einer sehr ähnlichen Aufgabe sitze, ich aber nicht wirklich verstanden habe wie das jetzt genau läuft. Was ich bis jetzt gelesen habe ist jedenfalls klar: es gibt zwei Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen, entweder über implizite Differentiation oder über die partiellen Ableitungen. Ok, nehmen wir mal die erste Möglichkeit:

Ich habe die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2 - 4 x y + 16 y^2 = 27 \end{eqnarray*}$ , die implizite Ableitung nach x wäre dann ja

$\begin{eqnarray*} \frac{d f(x,y)}{dx} = 2 x - 4 y' + 32 y y' \end{eqnarray*}$ , Null gesetzt und aufgelöst kommt bei mir raus

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{x}{2 + 8 y} \end{eqnarray*}$ , so jetzt y' nochmal null gesetzt ergibt x = 0. Wenn man x = 0 in die Ausgangsgleichung einsetzt, kommt raus $\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{\frac{27}{16}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d f(x,y)}{dy} \end{eqnarray*}$ liefert mir (stark abgekürzt) $\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{27} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist jetzt natürlich, was bedeutet die ganze Rechnerei eigentlich? Woher weiss ich, welcher Punkt den Schnittpunkt der horizontalen bzw der vertikalen Tangente beschreibt? Und müssten es nicht eigentlich 4 Punkte sein anstatt 2? Ich würde mich über Aufklärung sehr freuen Lehrer

07.05.2010, 00:55

mYthos

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Die implizite Ableitung ist bei dir falsch. Denn 4xy muss nach der Produktregel abgeleitet werden:

$\begin{eqnarray*} (xy)' = y + xy' \end{eqnarray*}$

weil bei der impliziten Funktion y eine Funktion von x ist. In dieser Hinsicht unterscheidet sich diese Ableitung sehr markant von den partiellen Ableitungen nach x oder y.
Deine Fragen zeigen ausserdem noch, dass du den bisherigen Ausführungen doch nicht folgen konntest bzw. sie nicht richtig verstanden hast.
Nach der Methode 1 ergibt sich y' als Bruch*, dessen Zähler die zwei (!) horizontalen Berührstellen und dessen Nenner die zwei (!) vertikalen Tangenten liefert. Eine implizite Ableitung nach y ist dann überflüssig.

(*) $\begin{eqnarray*} y' = \frac{x - 2y}{2(x - 8y)} \end{eqnarray*}$

Methode 2 (mit den partiellen Ableitungen) bringt dann gleichfalls x = 2y und x = 8y

mY+

07.05.2010, 10:46

Anonymer Knarzer

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Hallo, danke für die Antwort!

Du hast selbstverständlich recht was die fehlerhafte Ableitung angeht, und dass ich den Ausführungen nicht folgen konnte bzw sie nicht richtig verstanden habe, hab ich selbst in meinem Post geschrieben, der Sinn meiner Nachfragen ist ja gerade, Licht ins Dunkel zu bringen!

Gut, also setzt man Zähler und Nenner sozusagen getrennt gleich Null und löst (beide male) nach x auf. Dann setzt man das x des Zählers in die Ausgangsgleichung ein und erhält $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{\frac{-27}{4}} \end{eqnarray*}$ ? Das kann doch nicht sein? Aber angenommen es würde stimmen, wären dann meine beiden horizontalen Berührstellen $\begin{eqnarray*} P_h1 = (2 \sqrt{\frac{-27}{4}} | \sqrt{\frac{-27}{4}} ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_h2 = (2 \sqrt{\frac{-27}{4}} | - \sqrt{\frac{-27}{4}} ) \end{eqnarray*}$ ? Ist das so korrekt?

08.05.2010, 00:07

mYthos

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Ist es nicht. Du machst offensichtlich beim primitven Einsetzen irgendwo einen Fehler, den man aber jetzt hier nicht sieht. Schreibe mal, wie du das rechnest, das wäre interessant. Was bekommst du eigentlich für x?

mY+

08.05.2010, 09:10

Anonymer Knarzer

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Ok, noch mal Schritt für Schritt, diesmal kommen mir auch schönere Zahlen raus:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2 + 4 x y + 16 y^2 = 27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = 2 x + 4 y + 4 x y' + 32 y y' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{-x + 2 y}{2 x + 16 y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_z = -2 y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_h = -8 y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_z = -2 y \Rightarrow 4 y^2 - 8 y^2 + 16 y^2 = 27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_z = \pm \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_v = -8 y \Rightarrow 64 y^2 - 32 y^2 + 16 y^2 = 27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_v = \pm \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Setzt man $\begin{eqnarray*} x_z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_v \end{eqnarray*}$ in die Ausgangsgleichung ein, führt das zu den Punkten:

$\begin{eqnarray*} P_{h1} (-3 | \frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{h2} (3 |- \frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{v1} (-6 | \frac{3}{4}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P_{v2} (6 | -\frac{3}{4}) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, diesmal hats hingehauen, ich hatte vorher offenbar einen Vorzeichenfehler drin.

Wenn ich noch eine Frage stellen darf: Es leuchtet mir vollkommen ein, dass man um die horizontale Tangente zu finden y' = 0 setzt, da ja die Steigung der Tangente 0 ist. Aber die Steigung der vertikalen Tangente ist ja $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Verhält sich das so wie beim Grenzwert, wo $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow 0}\frac{1}{n} = \infty \end{eqnarray*}$ ist?

08.05.2010, 10:30

Anonymer Knarzer

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Ich hab den vorherigen Fehler gerade gefunden und ich bin sicher dir ist es auch aufgefallen... ich habe die Angabe falsch abgetippt.

08.05.2010, 11:12

mYthos

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Ja, bei den vertikalen Tangenten geht deren Steigung gegen Unendlich.

mY+

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