Summe als Polynom

25.02.2010, 16:00

Psi81

Summe als Polynom

Hi Leute,

ich rätsel grad die ganze Zeit an einem Phänomen rum, hab aber weder hier noch bei Google etwas entsprechendes gefunden.

Es geht mir darum, dass man offenbar jede Summe als Polynom darstellen kann, nur finde ich nichts, was mir irgendwie einen Hinweis darauf geben kann, wie man ein solches Polynom ermittelt.

Ein Beispiel:

In Maple hab ich folgende Funktion definiert:
$\begin{eqnarray*} f(n)=\sum\limits_{i=1}^n 3i^2 -3i +1 \end{eqnarray*}$

und mir dann mittels

code:
1:	evala(f(n))

mal das Ergebnis anzeigen lassen. Ich weiß, dass die Summe genau die dritten Potenzen einer natürlichen Zahl repräsentiert, aber woher weiß Maple das? Die Ausgabe von Maple lautete nämlich:

$\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$

Testeshalber habe ich noch mal ein paar andere Terme in die Summe geschrieben (irgendwelches wildes Zeug), Maple konnte mir für jede noch so beliebige Summenformel ein reines Polynom ausspucken, das genau diese Summe darstellt.

Jetzt ist meine Frage: Wie kann ich einerseits von einer Summe zum entsprechenden Polynom gelangen und umgekehrt? Ich wär dankbar für irgendwelche Links, die mich der Sache näher bringen, ich hab keine Ahnung, welche Sätze man dafür zu Rate ziehen muss...

Gruß
Psi

25.02.2010, 16:28

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe als Polynom
Potenzsummenformel
oder Wikipedia.

25.02.2010, 16:33

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe als Polynom

Zitat:

folgende Funktion definiert: $\begin{eqnarray*} f(n)=\sum\limits_{i=1}^n 3i^2 -3i +1 \end{eqnarray*}$

1) du solltest das richtig aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} f(n)=\sum\limits_{i=1}^n ( 3i^2 -3i +1 ) \end{eqnarray*}$

2) f(n) ist die Summenformel für die arithmetische Folge zweiter Ordnung:

$\begin{eqnarray*} g(n)= 3n^2 -3n +1 \end{eqnarray*}$

1 , 7 , 19 , 37 , ... ( überprüfe: die zweite Differenzfolge ist eine konstante Folge)

die Partialsummenfolge ist dann eine AF 3.Ordnung, deren
Vorschrift du mit dem allgemeinen Ansatz f(n)= an³+bn²+cn+d
ermitteln kannst ..

smile

25.02.2010, 18:41

Psi81

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin mir ziemlich sicher, dass meine Summenformel genau n³ beschreibt, die vergessenen Klammern möge man mir nachsehen.

Die Faulhabersche Formel habe ich mir bereits zuvor angesehen, diese behandelt jedoch nur einen Spezialfall, nämlich dass die Summe aller Potenzen einer Reihe durch ein Polynom dargestellt werden können.

Mir geht es aber darum, dass man einen beliebigen Term innerhalb einer Summenfunktion offenbar als Polynom darstellen kann, das ist nicht, was ich in den Links gefunden habe...
[edit]Ich meine, offenbar jede Summenfunktion kann als Polynom dargestellt werden, egal wie die Summenvorschrift aussieht.[/edit]

Der Ansatz von Dir corvus ist zwar schön und gut, aber genau darum geht es mir: Wie ermittle ich die Vorschrift der Funktion? Die Form an sich ist mir klar, ich seh nur nicht ganz klar, wie ich die Koeffizienten der Funktionsglieder bestimme (also a, b, c und d). Im vorliegenden Fall ist ja a = 1, sowie b = c = d = 0.

25.02.2010, 18:48

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(n)=\sum\limits_{i=1}^n ( 3i^2 -3i +1 ) = 3 \sum\limits_{i=1}^n ( i^2 ) -3 \sum\limits_{i=1}^n ( i )+\sum\limits_{i=1}^n ( 1 ) \end{eqnarray*}$

Nach diesem Vorbild lässt sich doch jede (polynomiale!) Summe in Faulhabersche Summen zerlegen. Was suchst du mehr?

25.02.2010, 18:53

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, er meint, dass es für jede (nicht notwendigerweise polynomiale) Funktion f ein Polynom p(n) gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} p(n) = \sum_{i=1}^n f(i) \end{eqnarray*}$

air

25.02.2010, 18:56

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Man denke an n=1: Jede Funktion wäre Polynom ...

25.02.2010, 19:08

Psi81

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Airblader smile

genau so war es gemeint, ich beziehe mich hier allerdings speziell auf polynomiale Terme innerhalb der Summenfunktion.

Mit der Faulhaberschen Formel komme ich an dieser Stelle jedoch nicht weiter, eventuell hilft die Gaußsche Summenformel. Dazu wäre es interessant zu wissen, wie ich diese z.B. auf den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} 3\sum\limits_{i=1}^n (i^2) \end{eqnarray*}$
anwende...

25.02.2010, 20:10

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

wie ich diese z.B. auf den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} 3\sum\limits_{i=1}^n (i^2) \end{eqnarray*}$
anwende...

$\begin{eqnarray*} 3\sum\limits_{i=1}^n (i^2) = 3*[\frac{2n^3+3n^2+n}{6}] \end{eqnarray*}$

Faulhaberschen Formel , siehe zB:

http://de.wikipedia.org/wiki/Faulhabersc...iger_F.C3.A4lle

smile

und noch dazu:

Zitat:

.. ich seh nur nicht ganz klar, wie ich die Koeffizienten der Funktionsglieder bestimme
(also a, b, c und d).

jetzt nur mal für dieses Beispiel :
$\begin{eqnarray*} f(n)=\sum\limits_{i=1}^n (i^2) \end{eqnarray*}$
Ansatz: f(n)=an³+bn²+cn+d
setze für n=1, 2 , 3 , 4 ein und löse das Gleichungssystem:
f(1)=1
f(2)=5
f(3)=14
f(4)=30
und du bekommst a=1/3 , b= 1/2 , c= 1/6 , d= 0

ok?

25.02.2010, 20:34

Psi81

Auf diesen Beitrag antworten »

*denk*

Ok, den Zusammenhang mit der Faulhaberschen Formel hab ich (endlich) verstanden, dafür schonmal vielen Dank. Die Beispielhafte Berechnung der Anwendungsfälle in der Wikipedia erschließt sich mir noch net ganz, aber das muss ich mir erstmal näher zu Gemüte führen.... vielen Dank an alle smile

06.11.2016, 20:08

T1337

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage corvus, wie kommst du auf
f(1)=1
f(2)=5
f(3)=14
f(4)=30
?

Neue Frage »

Antworten »

Summe als Polynom

Verwandte Themen