Stereometrie- Kugel - Seite 2

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26.02.2010, 00:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sag ich dir mal, dass z.B. $\begin{eqnarray} \sqrt x \cdot \sqrt x = x \end{eqnarray}$ ist. Wenn du also zwei Wurzeln mit gleichem Ausdruck multiplizierst, die also den gleichen Term unterhalb der Wurzel stehen haben, hebt sich die Wurzel auf Damit bekommst du dann $\begin{eqnarray} \left(\sqrt{ r_g^2- \frac{c_1}{\pi }}\right) ^3= \sqrt{ r_g^2- \frac{c_1}{\pi }} \cdot \sqrt{ r_g^2- \frac{c_1}{\pi }} \cdot \sqrt{ r_g^2- \frac{c_1}{\pi }} = (r_g^2- \frac{c_1}{\pi })\cdot \sqrt{ r_g^2- \frac{c_1}{\pi }} \end{eqnarray}$ . Die ersten beiden Wurzeln heben sich also gegenseitig auf, nur die dritte Wurzel bleibt stehen. Wir wollen jetzt die Wurzel auf einer Seite alleine stehen haben, wie bekommen wir das hin? Tip: Den gleichen Rechenschritt hat sulo eben schon einmal gemacht, da waren es die $\begin{eqnarray} \frac 43 \pi \end{eqnarray}$ Und hab bei dieser Aufgabe keine Angst vor Brüchen und Wurzeln, die sind leider nicht so schnell wegzubekommen hier.
26.02.2010, 00:38	mait86	Auf diesen Beitrag antworten »
du ich bin völlig am anschlag wie geht es weiter?
26.02.2010, 00:43	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben das ganze jetzt umgeformt, indem wir teilweise die Wurzel gezogen haben, $\begin{eqnarray} (r_g^2- \frac{c_1}{\pi })\cdot \sqrt{ r_g^2- \frac{c_1}{\pi }}=r_g^3+ \frac{c_2}{\pi } \end{eqnarray}$ Jetzt wollen wir die Wurzel alleine stehen haben, also wollen wir das $\begin{eqnarray} (r_g^2-\frac{c_1}{\pi}) \end{eqnarray}$ weg haben. Dazu dividieren wir durch $\begin{eqnarray} (r_g^2-\frac{c_1}{\pi}) \end{eqnarray}$ , der Schritt ist ähnlich wie der von sulo eben, als ihr durch $\begin{eqnarray} \frac 43 \pi \end{eqnarray}$ dividiert habt. Wenn wir das gemacht haben, wenn wir durch $\begin{eqnarray} (r_g^2-\frac{c_1}{\pi}) \end{eqnarray}$ dividiert haben, können wir die gesamte Gleichung quadrieren und bekommen damit dann auch die Wurzel weg.
26.02.2010, 00:54	mait86	Auf diesen Beitrag antworten »
was gib danach? $\begin{eqnarray} \sqrt{ r_g^2- \frac{c_1}{\pi }}=r_g^3+ \frac{c_2}{\pi }/(r_g^2-\frac{c_1}{\pi}) \end{eqnarray}$ ich habe mühe solche gleichung zu lösen...
26.02.2010, 01:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt quadrieren wir die ganze Gleichung Du musst auf der rechten Seite aufpassen, dass du die Klammern richtig setzt, $\begin{eqnarray} \sqrt{ r_g^2- \frac{c_1}{\pi }}=(r_g^3+ \frac{c_2}{\pi })/(r_g^2-\frac{c_1}{\pi}) \end{eqnarray}$ oder das ganze als Bruch schreibst $\begin{eqnarray} \sqrt{ r_g^2- \frac{c_1}{\pi }}=\frac{r_g^3+ \frac{c_2}{\pi }}{r_g^2-\frac{c_1}{\pi}} \end{eqnarray}$ . Jetzt wird die ganze Gleichung quadriert, dann verschwindet links die Wurzel. Auf der rechten Seite musst du aufpassen, dass du die Potenzgesetze richtig anwendest, $\begin{eqnarray} \left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{(a+b)^2}{(c+d)^2} \end{eqnarray}$ , es werden also der gesamte Nenner und der gesamte Zähler potenziert. Ich werde jetzt gleich auf offline gehen, daher noch ein paar Tipps: Wenn du das ganze quadriert hast, bring alles zusammen auf eine Seite, fass alles zusammen und vereinfach das soweit wie du kannst. Mach dabei ruhig einen Schritt mehr als zu wenig beim Umformen, es wird recht unübersichtlich, aber wenn du das sorgfältig machst, solltest du keien Fehler machen. Versuch dann wenn du das umgeformt hast hast, mit einem Näherungsverfahren zu arbeiten, es gibt keine ganzzahlige Lösung, also müssen wir mit einem Näherungsverfahren arbeiten. Vielleicht findet sich ja auch noch wer anderes, der dir zu (nachtschlafender) Zeit weiter helfen will und kann
26.02.2010, 10:17	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ = oberflächendifferenz und $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ = volumsdifferenz, sowie $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ = größerer radius kann man auch für den radius der kleinen kugel finden $\begin{eqnarray} r=\frac{3V-4\pi R^3}{A-4\pi R^2} \end{eqnarray}$ womit man ganz ohne wurzeln auskommt und ich komme (im besten fall) auch auf eine gleichung 4. grades, aber da man ohnehin numerisch löst, geht es am einfachsten und schnellsten (ausgangswert R = 25, 4 schritte) damit (mit z.b. newton): $\begin{eqnarray} f(R)=R^3-(R^2-\frac{A}{4\pi})^\frac{3}{2}-\frac{3V}{4\pi}=0 \end{eqnarray}$
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26.02.2010, 10:34	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, jetzt würde mich mal interessieren, wie man auf diesen (doch recht schönen) Ansatz kommt? Der Weg übers Einsetzen führt zwar auch zum Ziel (und eine Gleichung 4. Grades ist auch drin wenn man geschickt ausklammert), aber deine Rechnung finde ich doch um einiges schöner
26.02.2010, 10:48	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ein blindes huhn findet auch manchmal ein körnchen ein kleiner trick $\begin{eqnarray} (I) \quad{ }R^2\cdot r-r^3=\frac{A}{4\pi}r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (II)\quad{ }R^3-r^3=\frac{3V}{4\pi} \end{eqnarray}$ nun subtrahiere
26.02.2010, 10:55	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, blindes Huhn würde ich das nicht nennen, und ein Körnchen wäre auch eher etwas kleines Sehr schöne Idee das so umzuformen
26.02.2010, 11:17	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
@riwe Deine Umformung gefällt mir auch sehr gut. Ich hatte einen wesentlich umständlicheren (und leider auch fehleranfälligeren) Weg gewählt. @Iorek Danke für's Einspringen zu mitternächtlicher Stunde.
26.02.2010, 11:44	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
und die gleichung 4. grades mit $\begin{eqnarray} f(R) \end{eqnarray}$ wie oben: $\begin{eqnarray} R^3-(R^2-\frac{A}{4\pi})^\frac{3}{2}-\frac{3V}{4\pi}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (R^2-\frac{A}{4\pi})^3=(R^3-\frac{3V}{4\pi})^2 \end{eqnarray}$ ausmultuiplizieren führt auf $\begin{eqnarray} 3AR^4-6VR^3-\frac{3A^2}{4\pi}R^2+\frac{A^3}{16\pi^2}+\frac{9V^2}{4\pi}=0 \end{eqnarray}$

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