Integralrechnung: Flächenextrema

19.10.2006, 18:42	laixi^laixi	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung: Flächenextrema Hi, habe gerade folgende Aufgabe gerechnet: Gegeben sind zwei Scharen: $\begin{eqnarray} g_k(x)=k-\frac{x^2}{k}; \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_k(x)=k^3-kx^2; \end{eqnarray}$ Welchen Inhalt $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ hat das oberhalb der x-Achse gelegen, von $\begin{eqnarray} G_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H_k \end{eqnarray}$ begrenzte Flächenstück? Für welchen Wert von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ hat dieser Flächeninhalt ein lokales Maximum und wie groß ist der maximale Inhalt? Die Aufgabe ist an sich ja sehr einfach: Zunächst habe ich die Schnittpunkte der beiden Scharen berechnet. Nach Gleichsetzen der beiden Funktionen komme ich auf: $\begin{eqnarray} x_{1/2}=\pm k; \end{eqnarray}$ Nun integriere ich von $\begin{eqnarray} -k \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ über die Funktion $\begin{eqnarray} h_k(x)-g_k(x) \end{eqnarray}$ , um den Flächeninhalt $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ (in Abhängigkeit von k) zu berechnen. Als Ergebnis habe ich: $\begin{eqnarray} A_k=\frac{4k^4}{3}- \frac{4k^2}{3}=\frac{4k^2}{3}(k^2-1); \end{eqnarray}$ Diese Funktion leite ich nun einmal nach $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ab: $\begin{eqnarray} A'_k=\frac{16}{3}k^3-\frac{8}{3}k; \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} A'_k=0 \end{eqnarray}$ , erhalte ich folgende Ergebnisse: $\begin{eqnarray} k_1=0; \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_{2/3}= \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} g_k(x)=k-\frac{x^2}{k}; \end{eqnarray}$ , darf $\begin{eqnarray} k_1=0 \end{eqnarray}$ nicht eingesetzt werden. Allerdings kommen $\begin{eqnarray} k_{2/3} \end{eqnarray}$ auch nicht in Frage, da $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ an diesen Stellen nur lokale Minima haben. Nun meine Frage: Habe ich mich irgendwo verrechnet oder ist die Aufgabe so gestellt, dass kein vernünftiges Ergebnis herauskommen kann? MfG Manu
19.10.2006, 19:05	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung: Flächenextrema Du hast richtig gerechnet. A ist eine nach oben geöffnete Parabel, die hat nur ein Minimum. Der Flächeninhalt wird mit wachsendem Betrag von k also beliebig groß.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »