Exponentialfunktion: "Extremalprobleme"

25.02.2010, 19:49	utopia2030	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion: "Extremalprobleme" Wie muss die Stelle $\begin{eqnarray} z\geq 1 \end{eqnarray}$ gewählt werden, damit der y-Achsenabschnitt der Tangente t an den Graphen von $\begin{eqnarray} f(x)=2xe^{-x} \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} P\left(z \| f(z)\right) \end{eqnarray*}$ möglichst groß wird. b wird offensichtlich am Größten, wenn die Tangente durch den Wendepunkt geht. Wie ich das Maximum dann brechnen ist auch klar. Aber es muss ja noch eine andere Möglichkeit geben, das zu berechnen oder?
25.02.2010, 20:13	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja man kann die Aufgabe anders lösen, und zwar mittels einer Extremwertaufgabe. Stelle dafür zuerst allgemein die Tangente an den Punkt P auf, dadurch wirst du auf einen bestimmten Wert b, in Abhängigkeit von z, kommen. Den Term, der b also beschreibt, kannst du dann maximieren, d. h. als Funktion ansehen und Extrema berechnen.
25.02.2010, 20:35	utopia2030	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm hab da Schwieirgkeiten mit der Tangentengleichung in Abhängigkeit von z... $\begin{eqnarray} <br /> y=mx+b<br /> f(z)=mz+b<br /> f(z)=(2e^{-z}(1-z))z+b<br /> f(z)=(2e^{-z} -2ze^{-z} )z+b<br /> f(z)=2ze^{-z}-2z^{2}e^{-z} +b<br /> \end{eqnarray*}$ Deart?
25.02.2010, 20:46	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso bildest du denn sofort f(z)? Außerdem ist doch f deine Funktion, sie kann also nicht auch noch die Tangentenfunktion sein. Sei $\begin{eqnarray} t(x) = m \cdot x + b \end{eqnarray}$ die genannte Tangente. Dann ist $\begin{eqnarray} m = f'(z) = 2e^{-z} \cdot (1-z) \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} t(x) = 2e^{-z} \cdot (1-z) \cdot x + b \end{eqnarray}$ Um b jetzt herauszufinden, setze einen Punkt ( P, ist ja der einzige den du hast) in die Tangentengleichung ein, und stelle nach b um.

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