ein Paar fragen zu Cauchyfolgen |
| 26.02.2010, 09:35 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ein Paar fragen zu Cauchyfolgen 1) Wenn eine Folge reeller Zahlen genau einen Häufungswert hat, dann konvergiert sie. (ich würd sagen falsch, denn Häufungswert ist nich gleich Grenzwert, zwar darf sie nur einen Grenzwert haben, aber mehrer Häufungswerte) 2) Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge (richtig) c) Jede Cauchyfolge rationaler Zaheln hat mindestens einen reelen Häufungswert. (falsch) d) jede Cauchyfolge hat höchstens einen Häufungswert. (ja, in einem geordneten Körper) Danke! =) und bitte nur antworten, wenn ihr euch wirklich sicher seid ... im internet und im skriptum find ich so viele unterschiedliche aussagen darüber =( |
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| 26.02.2010, 09:41 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Interessante Nummerierung 1,2,c,d ^^ 1.) Aha und welche konvergente Folge mit mehr als einem HP kennst du? d) ist doch auch geordnet?! |
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| 26.02.2010, 09:44 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hihi, die nummerierung is natürlich nicht so gewollt ... also würdest du sagen 1) richtig 2) richtig c) ? hier steht doch mind., also ein wiederspruch zu d d) richtig |
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| 26.02.2010, 09:46 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nochmals zu 1) aber sie muss doch auch beschränkt sein, daher reicht die aussage nicht, dass sie konvergiert wenn sie genau einen HW hat |
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| 26.02.2010, 10:22 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bräucht wirklich dringend die richtige lösung =( |
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| 26.02.2010, 10:47 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für eine reelle Folge sind äquivalent: (i) ist konvergent (ii) ist beschränkt und hat genau einen Haufungspunkt. Die Rückrichtung überlasse ich erstmal dir 
Tipp: Beweis per Widerspruch geht ganz schön. |
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| 26.02.2010, 10:53 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für die antwort =) brauch aber wirklich nur richtig oder falsch ... was würdest du zu den anderen punkten sagen? |
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| 26.02.2010, 11:01 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist genau die richtige Argumentation hat genau einen Häufungspunkt, nämlich 0. Aber sie konvergiert nicht. Deine anderen Aufgaben stimmen auch alle. Edit: Außer bei c) solltest du nochmal nachgucken. |
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| 26.02.2010, 11:05 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, mein Beweis passt nicht ganz zu 1). Ich hab das beschränkt, das du hinterfragt hast, in die Aussage mit hinein gepackt, dabei steht das da ja gar nicht drin. |
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| 26.02.2010, 11:10 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke =) also zusammengefasst, damit ich jetzt die richtigen antworten hab =) 1) falsch, da sie auch beschränkt sein muss, und es nicht ausreicht nur einen HP zu haben 2) richtig c) richtig (wieso weiß ich jetzt aber nicht ? =/ ) d) richtig, im angeordneten Körper |
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| 26.02.2010, 11:14 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da es zur Lösung der Aufgabe nicht relevant ist, übernehme ich das mal: Sei beschränkt und habe genau einen Häufungspunkt a. Wir nehmen an a sei nicht der Grenzwert, dann gibt es eine Umgebung U von a, sodass unendlich viele Folgenglieder in liegen. Aus denen lässt sich eine Teilfolge konstruieren, welche wegen der Beschränktheit wiederum eine konvergente Teilfolge besitzt. Deren Grenzwert kann allerdings nicht a sein, sodass ein zweiter Häufungspunkt gefunden ist. Widerspruch. @LittleSunshine: du hast dich bei der c) zu sehr daran festgebissen, dass in Q nicht jede Cauchy-Folge konvergiert. Das hat mit der Aufgabe aber gar nichts zu tun. Denn Jede reelle (und eine rationale Folge ist auch eine reelle Folge) Cauchy-Folge (egal ob rational oder irrational oder was auch immer) hat einen Grenzwert und damit einen Häufungspunkt in R. |
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| 26.02.2010, 11:16 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja das is mir schon klar, aber in der aufgabe steht mind , gehört da nicht maximal bzw. genau einen hin ? |
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| 26.02.2010, 11:18 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"mindestens einen" schließt doch "genau einen" mit ein. Das ist wie, wenn du sagst ist falsch, dann es gilt ja |
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| 26.02.2010, 11:22 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm, da hast du recht ... aber ich versteh das so, dass eine Cauchyfolge auch 2 HW haben kann und es stört keinen
wenn ich jetzt hinschreib: "falsch, sie muss genau einen haben" wär dann die antwort falsch
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| 26.02.2010, 11:24 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jap, das wär dann falsch. Du beantwortet nämlich gerade die Frage, ob die Aussage Es gibt Cauchy-Folgen, die mehr als einen Häufungspunkt haben stimmt. |
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| 26.02.2010, 11:29 | LittleSunshine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
interessante sache 
danke für deine hilfe |
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