Skalarprodukt / Bilinearform |
| 26.02.2010, 11:28 | Evelyn89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Skalarprodukt / Bilinearform ich stelle mir gerade die Frage, ob man den Nachweis, dass eine gegebene Vorschrift eine Bilinearform ist, nicht verkürzen kann? Konkret: Ich hab z.B. folgende Abbildung gegeben Meine Aufgabe ist es nun zu prüfen, dass es sich hierbei um ein Skalarprodukt handelt, d.h. eine positiv definite, symmetrische Bilinearform ist. Meine Frage dazu: Wenn ich gezeigt habe, dass die Abbildung symmetrisch ist, genügt es dann nicht nur noch 2 von den 4 Eigenschaften einer Bilinearform zu zeigen? Die anderen klären sich dann ja wegen der Symmetrie von selbst, oder? Meine 2. Frage ist: Mein Tutor meinte, dass es ausreicht die zugehörge Matrix zu diesem Skalarprodukt zu nennen. Wenn eins exisitiert, ist es automatisch schon eine Bilinearform. Er hat dabei auf irgendein Satz im Skript hingewiesen. (hab leider vergessen welches und konnte das dann nicht mehr prüfen) Meine Frage an euch: ist das korrekt? Reicht es wirklich da einfach die Matrix hinzuschreiben und dann nur noch zu zeigen, dass sie symmetrisch und positiv definit ist? Ich hoffe, ihr konntet meine Fragen verstehen. Bin für jede Hilfe dankbar! |
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| 26.02.2010, 12:00 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dein erstes Argument erscheint mir sinnvoll, denn wenn du schon weißt, dass z.b. und b symmetrisch, dann weißt du auch, dass . Mit der Addition sollte es ähnlich gehen! Was dein Tutor gesagt hat ist falsch, falls er es genau so gesagt hat. Eine Matrix stellt nämlich nur dann ein Skalarprodukt dar, wenn sie selbst symmetrisch und positiv definit ist... |
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| 26.02.2010, 12:10 | Emmy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ist es aber nicht so, dass zu jeder Linearen Abbildung eine Darstellende Matrix gehört , welche die Abbildung in diesem Fall das Scalarprodukt vollständig beschreibt? Zu nicht Linearen Abbildungen gib es diese Matrix jedoch nicht? Wenn die Abbildung nun auch noch symmetrisch ist folgt dann nicht zwangsläufig die Bilineariät', wenn man es geschafft hat die Darstellende Matrix zu bestimmen die Abb also linear ist? LG |
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| 26.02.2010, 12:40 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, zu jeder linearen Abb. gibt es eine darstellende Matrix. Ja, zu jedem Skalarprodukt gibt es eine darstellende Matrix. Das heißt aber nicht, dass irgendeine Abbildung gleich ein Skalarprodukt ist, nur weil sie eine darstellende Matrix besitzt...
Das ist richtig.
Die Bilinearität ja, aber ein Skalarprodukt hat ja noch mehr Eigenschaften, außer bilinear zu sein! |
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| 26.02.2010, 12:48 | Emmy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
natürlich bleibt es einem nicht erspart dann auch noch zu prüfen ob die Abb positiv definit ist , wenn man Symmetrie und Bilingualität bewiesen hat 
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| 26.02.2010, 12:50 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
... wobei das wohl schon an der "Bilingualität" der Abbildung scheitern sollte. Eine solche ist jedenfalls mir nicht bekannt
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| 26.02.2010, 12:54 | Emmy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Oh tut mir Leid, ich habe Legastenie und manchmal spielt mir die Automatische rechtschreib- Überprüfung einen Streich 
Ich meinte natürlich Bilinearität |
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| 26.02.2010, 12:58 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kein Ding - ich glaube sowas ist den wenigsten noch nicht passiert ;-) |
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| 26.02.2010, 13:36 | Evelyn89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das war ja auch meine Frage. Die darstellende Matrix beweist also die Bilinearität ??? Das man noch positiv definit und Symmetrie prüfen muss, ist klar. Sonst ist es ja noch kein Skalarprodukt. Aber mir ging es nur darum, dass die Existenz der Darstellungsmatrix genügt um Bilinearität nachzuweisen?? |
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| 26.02.2010, 13:58 | Emmy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein so ganz richtig ist das nicht, Die Darstellende Matrix beweist Linearität. Sie beweist Bilinearität jedoch nur wenn die Symmetrie gegeben ist , dh wenn du schon bewiesen hast das die Abb symmetrisch ist. LG |
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| 26.02.2010, 14:15 | Evelyn89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Achso, alles klar. Ich denke, ich habs verstanden. Also beweist die symmetrische Darstellungsmatrix die Bilinearität. D.h. es muss für die Matrix B gelten : B = B^{t} Dann müsste ich aber die Symmetrie nicht noch einmal extra zeigen, sondern nur noch, dass es positiv definit ist, oder? Mich verwundert das alles allerdings ein wenig, da nach unserem Skript eine Abbildung auch eine Bilinearform sein kann, wenn sie nicht symmetrisch ist. Du sagst aber, dass die Matrix symmetrisch sein muss um eine Bilinearform zu erhalten. Aus meiner Sicht ist das doch eine Eigenschaft zu viel. Symmetrie müsste ich doch nur noch zusätlich zeigen, wenn ich beweisen will, dass es auch ein Skalarprodukt ist, oder nicht? |
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| 26.02.2010, 14:16 | Evelyn89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ach! ich hatte einen Denkfehler! Meine letzte Frage hat sich, denke ich, geklärt. Dann müssen also alle Darstellungsmatrizen zu einem gegebenen Skalarprodukt symmetrisch sein? |
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