Schnittpunkte Ellipse,Kreis |
| 26.02.2010, 11:30 | Dowido Dollinger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Schnittpunkte Ellipse,Kreis Da dies mein erstes Posting hier ist stelle ich mich kurz vor: Dowido Dollinger ist der Name meines Avatars in Second Life. http://secondlife.com/ (wenns interessiert) In Second Life beschäftige ich mit einem Projekt zum Bau elliptischer Gebäude mithilfe der integrierten Scriptsprache LSL (http://wiki.secondlife.com/wiki/LSL_Portal) Dabei taucht das Problem auf, dass ich die Schnittpunkte einer Ellipse mit einem Kreis berechnen muss. Da es sich bei Second Life um eine virtuelle Welt handelt in der alles in Koordinaten angegeben wird bevorzuge ich das rechnen in kartesische Koordinaten und möchte nur im alleräußersten Notfall gezwungen sein auf Polarkoordinaten oder Parameterform umrechnen zu müssen. Die Ellipse: Gegeben sind die beiden Halbachsen a und b. Der Mittelpunkt der Ellipse liegt immer in 0|0. Die Ellipse ist nicht gedreht (a liegt auf x-Achse). Der Kreis: Gegeben ist der Kreismittelpunkt kmx und kmy sowie der Radius r Der Kreismittelpunkt liegt immer auf der Ellipse! Der Kreisradius ist immer <= der kürzeren Ellipenhalbachse. -> Es gibt immer 2 Schnittpunkte. Beispielwerte: a = 10 (große Ellipsenhalbachse) b = 5 (kleine Ellipsenhalbachse) kmx = 6 (X Kreismittelpunkt) kmy = 4 (Y Kreismittelpunkt) r = 2 (Kreisradius) Was ich bisher habe: Ich versuche die x-Werte der Schnittpunkte zu erhalten indem ich sowohl die Ellipsengleichung wie auch die Kreisgleichung nach y auflöse und dann gleichsetze. Allgemeine Form der Ellipse: Nach y auflösen: Allgemeine Form des Kreises: Nach y auflösen: mun gleichsetzen: ye = yk Nun muss diese Formel so umgewandelt werden, dass links nur noch x steht. Genauer: X1 = ...... X2 = (vermutlich ganz ähnlich X1 nur mit einem Vorzeichenwechsel vor einer Wurzel?) Und daran scheitere ich völlig! Mein letzter Matheunterricht liegt auch schon Jahrzehnte zurück. Könnt ihr mir helfen? Danach kann ich die zugehörigen y-Werte mit fast jeder oben beschriebenen Formel dazurechnen. Herzlichen Dank schon mal im Voraus - Dowido Dollinger |
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| 26.02.2010, 13:31 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis beispiel ............... x.................. y S1 4,081349984 4,564607932 S2 7,800251923 3,128740559 |
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| 26.02.2010, 13:57 | Dowido Dollinger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis Danke riwe Zumindest hattest Du an meinem bisherigen Vorgehen nichts auszusetzen. Das ist ja schon mal was 
Leider ist es aber nicht das was ich suche. Ich brauche nicht die Lösung für das Einzelbeispiel sondern den Rechengang. Sprich die allgemein gültigen Formeln für X1 und X2. Das Ganze wird ja in ein Programm eingebaut und muss dann für sich stets ändernde Eingangswerte (a,b,r usw.) die Schnittpunkte liefern. Daher hacke ich nochmals nach. Wie hast du es gemacht? l.g. Dowido |
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| 26.02.2010, 14:23 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis zunächst: dia aufgabe ist überbestimmt: wenn immer auf der ellipse E liegt, so genügt die angabe von . üblicherweise berechnet man das zeug so: multipliziere die kreisgleichung (K) aus und subtrahiere die ellipsengleichung (E), dann hast du eine lineare beziehung zwischnen den x und y- koordinaten der/des schnittpunkte(s). einsetzen in (E) führt auf eine gleichung 4. grades in x, welche man üblicherweise numerisch löst (newton etc.) so erhält man für die ordinate des schnittpunktes als z.b. genügt das 
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| 26.02.2010, 14:41 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis Ich stimme riwe überall zu. Nur damit es ganz klar ist: Die Lösungen mit den Auflösungsformeln zu programmieren wäre viel zu aufwändig. |
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| 26.02.2010, 17:03 | Alex-Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis Vielleicht ein kleiner Anfang. Soll der Kreismittelpunkt sich dabei ändern? Oder ? Die Schnittpunkte x1 und x2, die y-Werte lassen sich dann leicht bestimmen |
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| 26.02.2010, 18:45 | Dowido Dollinger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis Hallo riwe Seit Stunden brüte ich über Deinem Posting und komme nicht wirklich weiter. 
Richtig - Ich hatte mir schon gedacht, dass ein inteligenter Mensch was mit meinen "Randbedingungen" anfangen kann.
Da steig ich leider völlig aus. Gleichungen ausmultiplizieren, subdrahieren und Gleichungen 4.grades 
.Von solchen Dingen habe ich zuletzt vor 40 Jahren gehört.
Wenn ich dich richtig verstanden habe gibt diese Gleichung den Zusammenhang zwischen x und y für jeden Schnittpunkt an. ?? (Wenn ich bei der Übertragung in mein SpeQ keinen Tipfehler gemacht habe hat die Gerade die Steigung 0, Graph ist eine waagerechte Linie) Aber ich kenne ja weder x noch y der Schnittpunkte. Das bringt mich also leider auch nicht weiter.
Wenn du so fragst und wenn dein Geduldsfaden mit einem Mathelaien noch nicht zum zerreißen gespannt ist, dann: "Leider Nein". Du hast die Werte für mein Beispiel berechnet und Alex-Peter postet das Ergebiss für einen noch viel komplizierten Fall (ohne meine Randbedingungen). Aber wie bist du auf diese Lösungen gekommen? Gibt es keine Möglichkeit so nach x aufzulösen, dass ich es (verstanden oder auch nicht) in eine Programmzeile packen kann? l.g. und Danke für deine Hilfe Dowido |
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| 26.02.2010, 18:48 | Dowido Dollinger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis Hallo wisili
Ja - daher versuche ich ja den mathematischen Teil der Programmierung hier abzuklären. Das ist genau der Grund warum ich so verbissen hinter einer einfachen, für alle Fälle gültigen Formel her bin. l.g. Dowido |
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| 26.02.2010, 18:58 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis Wir reden aneinander vorbei. Ich rate dringend davon ab, die Auflösungsformeln suchen zu wollen. Es gibt sie zwar, aber sie sind grässlich kompliziert. Eine einfache Formel gibt es nicht! Dagegen ist es nicht sehr aufwändig, mit einem numerischen Näherungsverfahren (riwe hat 'Newton' erwähnt) eine der beiden Koordinaten programmiert bis auf die gewünschte Genauigkeit zu bestimmen; und für die andere Koordinate hatte riwe oben bereits eine Formel parat. |
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| 26.02.2010, 19:05 | Dowido Dollinger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis Hallo Alex-Peter
Ja: Die Formel muss für jede Ellipse gelten (Einschränkungen siehe ganz oben) Die Formel muss für jeden Kreis gelten (Einschränkungen siehe ganz oben) Auch für Kreise die nicht auf einer Ellipsenachse liegen. Wenn ein Kreis nahe einer Ellipsenachse liegt können die beiden Schnitpunkte auch in unterschiedliche Quadranten fallen. Dein Beispiel verzichtet auf diese Einschränkungen (ausgenommen Ellipsendrehung). Das soll mir absolut recht sein. Es ist ganz einfach so: Ich schreibe zuerst das Programm und erst später werden die Werte für a,b,r,m(vormals kmx) usw. vom Nutzer des Programms angegeben. Zum Zeitpunkt der Programmierung kenne ich diese Werte nicht. Ich werd noch wahnsinnig. 
Jeder hier kann mir die Lösungen für Beispielwerte liefern. Aber wie komme ich dahin? Vereinfacht formuliert: Gesucht werden 2 Formeln: Y_Schnittpunkt_1(a,b,r,m) und Y_Schnittpunkt_2(a,b,r,m) Danke für deine Unterstützung Dowido |
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| 26.02.2010, 19:19 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis
wer lesen kann, ist besser dran 
wo findest du denn bei mir eine einschränkung 
wie glaubst du denn, dass ich die beiden schnittpunktkoordinaten berechnet habe
noch einmal: einsetzen und umsetzen wie oben beschrieben. das newton (oder sonstiges) verfahren läßt sich ja auch problemlos mitprogrammieren und man braucht hier mit geeigneten anfangswerten - die ja fast ins auge springen - maximal 5-6 iterationen a 10 b 5 m 6 n 4 r 2 ................ x.................. y S1 4,081349984 4,564607932 S2 7,800251923 3,128740559 4 39,0625 -493,75 4,079113924 1,044389618 -467,4349774 4,081348223 0,000821865 -466,6993659 4,081349984 5,09317E-10 -466,6987863 4,081349984 0 -466,6987863 4,081349984 0 -466,6987863 8 76,5625 400 7,80859375 3,063749783 367,9746145 7,800267769 0,005808669 366,5792554 7,800251923 2,10457E-08 366,5765995 7,800251923 0 366,5765995 7,800251923 0 366,5765995 |
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| 26.02.2010, 21:18 | Dowido Dollinger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis Hallo werner Es gibt ein grundlegendes Missverständniss zwischen uns beiden: Meine Mathematikkentnisse sind bei weiten nicht so gut wie du annimmst! Verzeih also wenn ich etwas länger brauche und "schwer von Begriff" bin. Den Begriff "Newtensche Näherung" hab ich grad erst gegoogelt und weiß inzwischen, dass es sich um ein Verfahren zum Auffinden von Nullstellen handelt. (wies geht muss ich erst lernen) Dadurch bekommt dein Hinweis ich solle (E) von (K) subdrahieren erstmals einen Sinn für mich. (auch wenn ich noch lange nicht weiß wie es geht). Aber, so stelle ich mir vor, eine solche Kurve müsste ihre Nullpunkte an den selben x-koordinaten haben wo auch meine Schnittpunkte liegen.
Wenn Du das als Geringschätzung gegnüber Menschen gemeint hast, die mit Begriffen wie "Ausmultiplizieren und Subtrahiere von Gleichungen" oder "Newtenscher Näherung" nicht gleich was anfangen können, weil sie nicht das von dir erwartete mathematische Niveau haben und genau aus diesem Grund hier Hilfe suchen.. Es ist angekommen
Gar keine. Solltest Du dich auf (Einschränkungen siehe ganz oben) meines Postings von 19:05 beziehen: Damit waren meine Randbedingungen zu Ellipse und Kreis des Ursprungspostings gemeint.
Wenn ich das tatsächlich wüsste würde in diesem Posing einfach nur "Danke 
" stehen.
Ich arbeite daran, ist aber Schwerstarbeit für mich und geht nur langsam voran. Wenn ich das Bisherige richtig verstanden haben ist mein nächster Schritt folgender: ich muss die Formel für (K) - (E) erstellen (stimmt hoffentlich so) und mich damit richtung "Newtonscher Näherung" begeben. Ich freue mich über jede weiter Unterstützung |
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| 26.02.2010, 21:20 | Alex-Peter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis Zu meiner Lösung: Sie gilt auch für alle Ellipsen und Kreise. Am Kopf des Berechnungsblatt werden nur die Werte für die Variablen geändert und schon sind sämtliche Ergebnisse und die neuen Kurven sichtbar. |
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| 27.02.2010, 11:50 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis sei doch nicht so ein sensiberl
von geringschätzung kann doch gar keine rede sein, ich bin ja selber ein mathematisches nackerbatzerl (ist österreichisch für ahnungsloser)
ich habe dir das ganze einmal auf die schnelle in VBA programmiert, der lösungsalgorithmus steht in der funktion newton. schau dir das zeug halt einmal an, vielleicht funktioniert unsere kommunikation so besser
du mußt mir halt vertrauen und "makro aktivieren" aktivieren
dann kannst du vielleicht gezielter fragen stellen oder ich gezielter antworten |
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| 27.02.2010, 13:08 | Dowido Dollinger | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis Hallo werner
Schon vergessen
Das halte ich für eine glatte Lüge
Ich bin aus der Nähe von Wien. Mit solchen Begriffen hab ich keine Probleme 
genau das hab ich vor. da das wetter aber heute wunderschön ist werd ichs erst am abend wieder angehen l.g. dowido |
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| 27.02.2010, 15:51 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Schnittpunkte Ellipse,Kreis viel spaß bei dem schönen wetter. ich habe das glück, in den gärten meiner töchter faulenzen zu dürfen. nach ein paar achterln habe ich das ganze noch einmal überarbeitet, um deine wünsche zu erfüllen - also ziemlich grob gesprochen: löse ohne vorher viel umzumodeln
daduch ist es einfacher und damit übersichtlicher geworden die spinbuttons sind zum testen, kann man dann wegwerfen
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