Isoperimetrisches Problem für Vierecke

12.06.2004, 18:56

Carina

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Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Ich brauch mal Hilfe... BITTE!!!

Folgende Aufgabe:
Unter allen Vierecken festen Umfangs ist das mit maximalem Flächeninhalt zu finden.

Bin mir bisher eigentlich sicher, dass das dann immer das entsprechende Quadrat sein muss, aber warum denn???
Und wie kann ich das dann konstruieren?
Wäre toll wenn mir jemand hilft, am besten noch bis Dienstag.
Bitte bitte bitte

12.06.2004, 19:04

Mathespezialschüler

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RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

Original von Carina
Ich brauch mal Hilfe... BITTE!!!

Folgende Aufgabe:
Unter allen Vierecken festen Umfangs ist das mit maximalem Umfang zu finden.

Wenn Vierecke festen Umfang haben, wie sollen sie dann maximalen Umfang bekommen?? Du kannst doch kein Viereck bestimmen, was den größten Umfang hat, wenn du als Umfang z.B. 20 cm fest gegeben hast!!!!

12.06.2004, 20:58

Carina

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Sorry, bin wohl schon zu verzweifelt... Inhalt meinte ich. Kannst du jetzt helfen statt nach weiteren Fehlern zu suchen :-) Wäre sehr dankbar. Liebe grüße...

12.06.2004, 21:44

Mathespezialschüler

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Meinst du wirklich allgemeine Vierecke oder doch nur Rechtecke?? Wenn du allgemeine Vierecke meinst, dann kann ich dir leider auch nicht weiterhelfen.

edit: Warum wurdest du denn zum Mathestudium gezwungen?? Big Laugh

Big Laugh

12.06.2004, 22:52

obelix

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Nimm doch mal z.B. den Umfang 20 cm. Wenn a = 1 und b = 9 ist, ist der Flächeninhalt 9. Wenn a = 5 und b = 5 ist, dann ist der Flächeninhalt 25. Also hast du recht, dass es sich um das Quadrat handelt. Es ist ja auch logisch, denn bei einem Quadrat haben a und b die maximale Länge.

Erscheint es dir jetzt auch logisch?

12.06.2004, 23:02

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von obelix
Nimm doch mal z.B. den Umfang 20 cm. Wenn a = 1 und b = 9 ist, ist der Flächeninhalt 9. Wenn a = 5 und b = 5 ist, dann ist der Flächeninhalt 25. Also hast du recht, dass es sich um das Quadrat handelt. Es ist ja auch logisch, denn bei einem Quadrat haben a und b die maximale Länge.

Erscheint es dir jetzt auch logisch?

Das bezieht sich nur auf Parallelogramme!! Was ist mit allgemeinen Rechtecken, so wie es in der Aufgabenstellung steht, da kannst du den Flächeninhalt nicht in Abhängigkeit von u und einer Seite ausdrücken.

PS: Das, was du gemacht hast, ist probieren.
1. Es muss nicht richtig sein!! Denn nur weil du zwei Beispiele gegeben hast und das eine natürlich einen größeren Flächeninhalt ergibt, muss es nicht das mit dem kleinsten Flächeninhalt sein!! Es gibt unendlich viele Möglichkeiten für die Seitenlängen und du müsstest sie alle ausprobieren! Dann brauchst du nunmal eine mathematische Berechnung, um die Aufgabe zu lösen.
2. Wenn man eine mathematische Aufgabe hat, soll man diese höchstwahrscheinlich auch mathematsch und nicht durch Probieren lösen (Nullstellenfindung bei Polynome mal ausgeschlossen).

Also einfach nochmal die Frage an Carina:
Bezieht es sich nur auf Parallelogramme oder auf alle Vierecke???

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13.06.2004, 18:44

Carina

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DAs wird ja ne richtige Diskussion hier :-)
Bezieht sich allgemein auf ALLE Vierecke festen Umfangs, d.h. als Beispiel alle Vierecke, die als Umfang 20cm haben, also Parallelogramme, Rauten, Drachen... usw usw...
Bin mir nach langem Probieren recht sicher dass es eben das Quadrat sein muss, aber wie ich das durch Konsturktion und Zeichnerisch darstellen, erklären und beweisen soll... keinen Plan! Hilfe???

13.06.2004, 20:38

Poff

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RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
Nimm die innliegende Diagonale des Vierecks z.B AC, ziehe Parallelen
dazu durch die beiden gegenüberliegenden Punkte B und D.
Verschiebe B und D auf diesen Parallelen zu B' und D' soo,
dass gleichschenklige Dreiecke AB'C und CD'A entstehen.
Dadurch ist der Umfang bei konstanter Fläche gesunken.
(Wäre noch zu zeigen, dass das gleichschenklige Dreieck ...)

Nun hast du einen Drachen bei dem du das gleiche Spiel
erneut mit der anderen Diagonalen anwendest ....

Ergebnis ist eine Parallelogramm, bei dem offensichtlich ist,
das ein jedes der beiden zugehörigen flächengleichen
Rechtecken einen kleineren Umfang hat ....

und von diesen Rechtecken 'weiß' man dass das flächengleiche
Quadrat den kleinsten Umfang hat ....

smile

smile

13.06.2004, 20:43

maxxchen

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RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
Versuchs doch einfach mal mit einer Extremwertrechung.

A soll maximal werden.
A = a * b (gilt also nur für Rechecke und spezielle Rechtecke)
Umfang hast du gegeben (such dir einen aus)
Versuch b in der Formel durch U und a auszudrücken und bilde dann die Ableitung.

Ergebnis A ist maximal, wenn a = b

Gruß Maxx

13.06.2004, 20:51

Mathespezialschüler

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RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
@Poff
Woher weiß man nach der Scherung, die du ja eigentlich durchführst, dass der Umfang geringer geworden ist??

13.06.2004, 21:21

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
... was ganz simples fällt mir dazu die Sekunde nicht ein,

sagte oben ja schon "(Wäre noch zu zeigen, dass ..."
.... hoffe doch dass sich etwas passendes finden lässt,

möglichst ohne gewaltige Ableitungen und Pipapo ...
geb das damit erst mal zurück an dich .... *gg*

smile

smile

13.06.2004, 22:43

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
Also was ohne gewaltige Ableitung hab ich nich gefunden, deswegen probier ichs mal damit. Erstmal ne Zeichnung

http://server5.uploadit.org/files/Mathespeziler-Unbenannt19.JPG

Wir wissen, dass h und d fest gegeben, also Konstanten sind.

Ich bezeichne

$\begin{align*} a\ +\ c\ =\ u \end{align*}$

u soll minimal werden. Dann wissen wir noch:

$\begin{align*} a\ =\ \sqrt{h^2\ +\ q^2} \end{align*}$

$\begin{align*} c\ =\ \sqrt{h^2\ +\ (d-q)^2} \end{align*}$

Also

$\begin{align*} u\ =\ \sqrt{h^2\ +\ q^2}\ +\ \sqrt{h^2\ +\ (d-q)^2} \end{align*}$

Und somit sieht man erstmal, dass u nur von q abhängig ist. Jetzt müsste man "nur" noch ableiten. Damit hab ich mich noch nicht befasst. Das ist zwar ne "gewaltige Ableitung", aber ich kann sie ja gleich mal probieren

$\begin{align*} u\ =\ \sqrt{h^2\ +\ q^2}\ +\ \sqrt{h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2} \end{align*}$

$\begin{align*} u'\ =\ \frac{1}{2\ \cdot\ \sqrt{h^2\ +\ q^2}}\ \cdot\ 2q\ +\ \frac{1}{2\ \cdot\ \sqrt{h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2}}\ \cdot\ (2q\ -\ 2d) \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ \frac{q}{\sqrt{h^2\ +\ q^2}}\ +\ \frac{(q\ -\ d)}{\sqrt{h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ \frac{q^2}{h^2\ +\ q^2}\ +\ \frac{q^2\ -\ 2dq\ +\ d^2}{h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2} \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ \frac{q^2\ \cdot\ (h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2)\ +\ (q^2\ -\ 2dq\ +\ d^2)\ \cdot\ (h^2\ +\ q^2)}{(h^2\ +\ q^2)\ \cdot\ (h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2)} \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ q^2\ \cdot\ (h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2)\ +\ (q^2\ -\ 2dq\ +\ d^2)\ \cdot\ (h^2\ +\ q^2) \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ q^2h^2\ +\ q^2d^2\ -\ 2dq^3\ +\ q^4\ +\ q^4\ +\ q^2h^2\ -\ 2dq^3\ -\ 2dqh^2\ +\ d^2h^2\ +\ d^2q^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ 2q^4\ -\ 4dq^3\ +\ 2q^2(h^2\ +\ d^2)\ -\ 2dqh^2\ +\ d^2h^2 \end{align*}$

hmmm....... entweder hab ich nen Fehler gemacht oder das bringt uns nicht weiter traurig

traurig

13.06.2004, 23:28

Poff

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RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
.... *ggg*

du musst ein (Rechen)Fehler drin haben im Ableitungsteil & Co
der Ansatz stimmt und liefert als Lösung q = d/2

ich schau später nochmal drüber falls du's nicht selbst findest

smile

smile

13.06.2004, 23:33

Mathespezialschüler

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RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
Also, ich habs mir nochmal angeguckt, bis jetzt aber keinen Fehler gefunden. hmmm..... irgendwie komisch verwirrt

verwirrt

14.06.2004, 03:10

Poff

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RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
....
$\begin{align*} 0\ =\ \frac{q}{\sqrt{h^2\ +\ q^2}}\ +\ \frac{(q\ -\ d)}{\sqrt{h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ \frac{q^2}{h^2\ +\ q^2}\ +\ \frac{q^2\ -\ 2dq\ +\ d^2}{h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2} \end{align*}$
....
(

probiers mal damit ...

$\begin{align*} 0\ =\ \frac{q^2}{h^2\ +\ q^2}\ -\ \frac{q^2\ -\ 2dq\ +\ d^2}{h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2} \end{align*}$

...

$\begin{align*} \, \end{align*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.06.2004, 20:08

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
Warum soll es denn ein Minus werden?? Hab ich vorher nen Vorzeichenfehler gemacht oder is es wegen dem Quadrieren? Ahhh........ "Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung!" Is es das?? Aber warum soll dann das Quadrat negativ werden? Es müsste doch die Basis sein, die negativ und positiv sein kann verwirrt

verwirrt

14.06.2004, 20:39

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

"Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung!" Is es das?? Aber warum soll dann das Quadrat negativ werden?

nix da ....
denk nochmal drüber nach, das ist richtig mit dem Minus .... Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

14.06.2004, 20:45

Mathespezialschüler

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RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
Dann bliebe ja nur noch ein Fehler bei der Ableitung, aber ich steh grad aufm Schlauch :P

14.06.2004, 22:33

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
... was machst du denn ??

die Ableitung ist richtig,
das Minus muss aber dennoch hin, .... ich hab den Übergangs-
fehler doch ZITIERT ... :-oo

verwirrt

verwirrt

14.06.2004, 22:54

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
Welches Zitat meinst du denn jetzt?? *völlig verwirrt

verwirrt

*

Das hier?

Zitat:

Original von Poff

Zitat:

"Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung!" Is es das?? Aber warum soll dann das Quadrat negativ werden?

nix da ....
denk nochmal drüber nach, das ist richtig mit dem Minus .... Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ich dachte wegen dem "nix da", dass das jetzt auch nicht stimmt. Wenn es das Zitat war, dann Missverständnis :P . Aber dann bliebe halt immernoch folgende Frage:

Zitat:

Aber warum soll dann das Quadrat negativ werden? Es müsste doch die Basis sein, die negativ und positiv sein kann verwirrt

verwirrt

Naja gut, ich poste mal die Lösung:

$\begin{align*} 0\ =\ \frac{q^2}{h^2\ +\ q^2}\ -\ \frac{q^2\ -\ 2dq\ +\ d^2}{h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2} \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ \frac{q^2\ \cdot\ (h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2)\ -\ (q^2\ -\ 2dq\ +\ d^2)\ \cdot\ (h^2\ +\ q^2)}{(h^2\ +\ q^2)\ \cdot\ (h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2)} \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ q^2\ \cdot\ (h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2)\ -\ (q^2\ -\ 2dq\ +\ d^2)\ \cdot\ (h^2\ +\ q^2) \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ q^2h^2\ +\ q^2d^2\ -\ 2dq^3\ +\ q^4\ -\ q^4\ -\ q^2h^2\ +\ 2dq^3\ +\ 2dqh^2\ -\ d^2h^2\ -\ d^2q^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ 2dqh^2\ -\ d^2h^2 \end{align*}$

$\begin{align*} d^2h^2\ =\ 2dqh^2 \end{align*}$

$\begin{align*} d\ =\ 2q \end{align*}$

$\begin{align*} q\ =\ \frac{d}{2} \end{align*}$

Zweite Ableitung möcht ich jetzt nicht mehr bilden. Wir nehmen einfach mal an, dass es ein Minimum ist. Man kanns ja auch mit Vorzeichen in Umgebung mit der ersten Ableitung machen, wer es unbedingt haben will.

PS:

Zitat:

Original von Poff

...
Nun hast du einen Drachen bei dem du das gleiche Spiel
erneut mit der anderen Diagonalen anwendest ....

Ergebnis ist eine Parallelogramm, bei dem offensichtlich ist,
das ein jedes der beiden zugehörigen flächengleichen
Rechtecken einen kleineren Umfang hat ....
...

Muss es nicht sogar eine Raute werden, wegen der Symmetrie des davor entstandenen Drachens? verwirrt

verwirrt

14.06.2004, 22:54

SirJective

Auf diesen Beitrag antworten »

Auflösung:

Aus der Gleichung
0 = x + y
wird durch Multiplikation mit x-y
0 = (x+y) (x-y)
0 = x^2 - y^2

MSS, du hast stattdessen die Gleichung
0 = x^2 + y^2
gefolgert. Wie das?

14.06.2004, 23:03

jama

Auf diesen Beitrag antworten »

Für eigene Fragen bitte in Zukunft eigene Themen starten. Danke!

Gruß,

Jama

14.06.2004, 23:07

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

Original von Poff

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
....
$\begin{align*} 0\ =\ \frac{q}{\sqrt{h^2\ +\ q^2}}\ +\ \frac{(q\ -\ d)}{\sqrt{h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} 0\ =\ \frac{q^2}{h^2\ +\ q^2}\ +\ \frac{q^2\ -\ 2dq\ +\ d^2}{h^2\ +\ d^2\ -\ 2dq\ +\ q^2} \end{align*}$
....
(

dieser Übergang (1.Zeile zur 2.Zeile) war gemeint mit dem 'Zitat' ...

mach den doch nochmal vor .... Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

14.06.2004, 23:20

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
Ok, Jungs danke, ich hatte da aber ein riesengroßes Brett vorm Kopf. Ich wollte eigentlich gar nicht die 3. Binomische Formel anwenden, sondern einfach die Gleichung quadrieren, aber ich hab leider nich so gesehen, dass es ja ne Summe is und ich die 1. binomische Formel hätte anwenden müssen. :P :P :P :P :P :P

@Poff
Sorry, dass es so lange gedauert hat, aber ich war heut eben begriffsstutzig Gott

Gott

Das mit dem Vormachen hat sich ja dann auch erledigt :P

14.06.2004, 23:39

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
... ich hätte dir das ja schon früher genauer verraten können,
--- hatte schon vorgeahnt, dass da was tiefer sitzt ---

nur, diese Stelle hat mich selbst genarrt,

dachte NICHT dass du blind drauf los quadriert hättest wie'n
Anfänger, sondern dass du MEHRERE unsichtbare Schritte dazu

im Geiste vollzogen hättest, noch nichtmal binomische Formel,
sondern aufgetrennt, quadriert und zurückgetrennt ....

und das hatte zu Folge dass ich das ebenfalls übersehen hatte
und einiges mit dieser Fehlersuche zu tun hatte ....

und ein wenig davon wollte ich dir wieder zurückschenken . Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

... ich hab auch eine geometrische Lösung, nur die will mir
noch nicht recht gefallen .... mal sehen

14.06.2004, 23:49

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

Original von Poff

...
wie'n
Anfänger, ...

Danke *g*

Augenzwinkern

15.06.2004, 00:21

jama

Auf diesen Beitrag antworten »

Und bitte nicht vergessen, in Zukunft für so etwas ein eigenes Thema (mit Verweis) zu starten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.06.2004, 00:31

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

@jama

... das versteh ich nicht :-oo

das gehörte doch noch zum Thema dazu, zwar etwas verschleppt,
aber es ging NACHWIEVOR noch ums Threadthema :-oo

und ist evtl immer noch nicht 'beendet' ...

verwirrt

verwirrt

15.06.2004, 09:44

Carina

Auf diesen Beitrag antworten »

Äh...
das mit den Diagonalen (denn wir sollen die Aufgaba ja doch zeichnerisch lösen) nützt mir doch nichts oder? Der UMFANG soll ja gleich bleiben, der Inhalt soll maximal werden...
Oder steh ich mal wieder aufm Schlauch?
Für Dreiecke haben wir das auch anhand von Scherung gemacht...
Könnt ihr mir nicht doch noch helfen das zeichnerisch zu lösen? Hab sonst n arges Problem...

15.06.2004, 09:51

Christina-Johanne

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe leider auch keine zeichnerische Lösung, eigentlich auch noch keine andere. Muss ich jetzt mal machen.

Was ich eigentlich wissen wollte: Quält dich etwa auch Frau Knipping???

15.06.2004, 11:17

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

Original von Poff
...
... ich hab AUCH eine geometrische Lösung, nur die will mir
noch nicht recht gefallen .... mal sehen

zudem sagte ich schon einiges weiter zuvor, dass eine Lösung
ohne Rechnerei und Ableitung sinnvoller sei.
... aaber eine Lösung ist eine Lösung und dies hier abgehandelte
ist eine LÖSUNG :-oo

Zitat:

Original von Carina
Äh...
das mit den Diagonalen (denn wir sollen die Aufgaba ja doch zeichnerisch lösen) nützt mir doch nichts oder? Der UMFANG soll ja gleich bleiben, der Inhalt soll maximal werden...
Oder steh ich mal wieder aufm Schlauch?

JAA, du stehst auf dem Schlauch :-oo
... ein wenig mehr mitdenken würde dir sagen, dass das was
gezeigt wurde, eben AUCH genau dies ANDERE zeigt :-oo

... und wenn du das mit 'deiner Scherung' schon hast, so frage ich
mich was du noch willst, 'der Rest' wurde an anderer Stelle
schon GEOMETRISCH abgehandelt.

Ein wenig umsetzen musst du schon selbst ....

smile

smile

15.06.2004, 14:09

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke
@Poff

wir haben uns da in was reingesteigert, das Problem war, dass sie am Anfang geschrieben hatte

Zitat:

Original von Carina

Ich brauch mal Hilfe... BITTE!!!

Folgende Aufgabe:
Unter allen Vierecken festen Umfangs ist das mit maximalem Umfang zu finden.

Das war natürlich quatsch, dann hat sie folgendermaßen korrigiert:

Zitat:

Original von Carina

Sorry, bin wohl schon zu verzweifelt... Inhalt meinte ich.

Man wusste jetzt nicht, soll der Umfang bei konstanter Fläche oder die Fläche bei konstantem Umfang maximal werden. Es kam ein Ansatz zum letzteren. Dann hast du was zum ersteren geschrieben, denn bei deiner Scherung gehts um konstante Fläche. Ich hab mir die Aufgabe nich richtig angeguckt und dann einfach dazu weiter "mitgemacht". Das hier:

Zitat:

Original von Poff

... aaber eine Lösung ist eine Lösung und dies hier abgehandelte
ist eine LÖSUNG :-oo

stimmt danna auch nicht, denn das ist jetzt die Lösung für konstante Fläche, gefragt war aber wohl maximale Fläche bei konstantem Umfang.
Unser Problem: Wir haben nun die falsche Aufgabenstellung bearbeitet (und dafür so viel Aufwand :P).

Das mit der Scherung klappt ja dann auch nicht, denn wir wollen ja konstanten Umfang. Da müsste man sich ne neue geometrische Methode ausdenken.

15.06.2004, 15:53

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
Unser Problem: Wir haben nun die falsche Aufgabenstellung bearbeitet (und dafür so viel Aufwand :P).

Das mit der Scherung klappt ja dann auch nicht, denn wir wollen ja konstanten Umfang. Da müsste man sich ne neue geometrische Methode ausdenken.

... ne neue geometrische Methode ausdenken.

... nein, denk mal nach, das andere ist doch GRATIS mit in der
'Lösung' enthalten,

... deswegen hab ich dieses doch auch 'soo verfolgt' :-oo

smile

smile

15.06.2004, 16:13

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

Original von Poff

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
Unser Problem: Wir haben nun die falsche Aufgabenstellung bearbeitet (und dafür so viel Aufwand :P).

Das mit der Scherung klappt ja dann auch nicht, denn wir wollen ja konstanten Umfang. Da müsste man sich ne neue geometrische Methode ausdenken.

... ne neue geometrische Methode ausdenken.

... nein, denk mal nach, das andere ist doch GRATIS mit in der
'Lösung' enthalten,

... deswegen hab ich dieses doch auch 'soo verfolgt' :-oo

smile

smile

Ja, hast Recht. Ist mir vorhin dann auch noch eingefallen, denn man hat ja eine Raute mit gleicher Fläche und kleinerem Umfang bekommen. Dann muss man ja nur noch den Quotienten k = u1/u2 , wobei u1 der Umfang des Ausgangsviereck ist und u2 der der Raute ist, berechnen und die Raute mit k/4 zentrisch strecken (mit dem Mittelpunkt der Raute als Zentrum). Dann hat man gleichen Umfang und der Flächeninhalt ist größer, da u1/u2 > 1 ist.
Meinst du das so ungefähr??

15.06.2004, 22:34

Carina

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe die Lösung jetzt gefunden, danke für eure hilfe, denn ohne die wäre mir das sicher nicht gelungen. Jetzt habe ich das auch verstanden und es erscheint mir recht logisch :-)
Aber bitte nicht so einen vorwurfsvollen Ton, meine Stärken liegen eben in anderen Bereichen...
Schönen Abend noch

15.06.2004, 23:58

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Carina,

wenn da was vorwurfsvoll geklungen hat in deinen Augen,
dann ist es so nicht gemeint gewesen, sondern mehr als ein
Anstacheln dich doch etwas tiefer mal reinzudenken .... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
...
Dann muss man ja nur noch den Quotienten k = u1/u2 , wobei u1 der Umfang des Ausgangsviereck ist und u2 der der Raute ist, berechnen und die Raute mit k/4 zentrisch strecken (mit dem Mittelpunkt der Raute als Zentrum). Dann hat man gleichen Umfang und der Flächeninhalt ist größer, da u1/u2 > 1 ist.
Meinst du das so ungefähr??

... nein, soo eigentlich nicht direkt.
Ich wollte keinen expliziten Weg vorstellen wie solch ein Ding
etwa direkt umzuwandeln sei, sondern war nur als Mittel zum
Weg zum Beweis gedacht.

Unterstellen 'wir' jetzt mal es sei durch das Vorangegangene
klar bewiesen worden, dass das Quadrat dasjenige aller Vierecke
ist, das bei vorgegebener Fläche den geringsten Umfang hat.

Das was nun scheinbar noch fehlt (bei fixem Umfang maximale
Fläche) leitet sich ganz einfach daraus hervor, ähnlich dem
bei der Quader Sache ...

willst du das mal kurz ausführen ...

Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.06.2004, 21:29

Christina-Johanne

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

Original von Poff
Nimm die innliegende Diagonale des Vierecks z.B AC, ziehe Parallelen
dazu durch die beiden gegenüberliegenden Punkte B und D.
Verschiebe B und D auf diesen Parallelen zu B' und D' soo,
dass gleichschenklige Dreiecke AB'C und CD'A entstehen.
Dadurch ist der Umfang bei konstanter Fläche gesunken.
(Wäre noch zu zeigen, dass das gleichschenklige Dreieck ...)

Nun hast du einen Drachen bei dem du das gleiche Spiel
erneut mit der anderen Diagonalen anwendest ....

Ergebnis ist eine Parallelogramm, bei dem offensichtlich ist,
das ein jedes der beiden zugehörigen flächengleichen
Rechtecken einen kleineren Umfang hat ....

und von diesen Rechtecken 'weiß' man dass das flächengleiche
Quadrat den kleinsten Umfang hat ....

smile

smile

Ich habe das Problem eine Weile verfolgt. Warum ist das so? Aber vor allem, wie verschiebe ich ohne ein dynamisches Geometrieprogramm zu haben (nur mit Zirkel und Lineal) die Dreiecke zu einem gleichschenkligen?

16.06.2004, 21:40

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

Original von Christina-Johanne

Ich habe das Problem eine Weile verfolgt. Warum ist das so? Aber vor allem, wie verschiebe ich ohne ein dynamisches Geometrieprogramm zu haben (nur mit Zirkel und Lineal) die Dreiecke zu einem gleichschenkligen?

Was genau meinst du denn, also warum ist was so?

16.06.2004, 21:41

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isoperimetrisches Problem für Vierecke

Zitat:

Original von Christina-Johanne

.... Aber vor allem, wie verschiebe ich ohne ein dynamisches Geometrieprogramm zu haben (nur mit Zirkel und Lineal) die Dreiecke zu einem gleichschenkligen?

ganz einfach, indem du die Mittelsenkrechte der darunterliegenden
Dreiecksgrundfläche konstruierst, hier die Mittelsenkrechte auf AC.

Deren Schnittpunkt mit den Parallelen liefert dir die gesuchten
Dreieckspunkte B' und D' ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

@Mathespezialschüler

du hast den 'Auftrag' von oben entdeckt ??
engagiere dich da ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.06.2004, 21:58

Christina-Johanne

Auf diesen Beitrag antworten »

Autsch, da stand ich auf dem Schlauch. Wenn ich nun aber weiter zu einem Quadrat umformen möchte, dann geht das doch nicht. Die Mittelsenkrechte der Diagonalen ist doch dan die Diagonale des beliebigen Rechtecks. Wie bekommen ich das dann hin?

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