exponentialfunktion

19.10.2006, 19:58

claudia_math

exponentialfunktion

hallo an alle,
ich brauche dringend hife zu folgender aufgabenstellung:

2^(x+1) - 3= 2^(x+3) - 3^(x+1)

ergebnis: x = (ln(3) - 2 * ln(2)) / (ln3 - ln2) =- 0,7095...

ich komme nach 3 stunden einfach nicht auf dem Lösungsweg!!!

ich bedanke mich schon im voraus

19.10.2006, 20:27

maulwurf

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ich hab das ganze mal ausgerechnet und bei mit kommt 2 raus. hab dies auch eingesetzt, das stimmt.
meine rechnung jedoch ist relativ lang, vlt ein bisschen zu kompliziert.
naja, als erstes solltest du mal versuchen das so zu schreiben, dass du immer nur noch x im exponenten hast. dann kannst du asuklammern und alles ohne x auf eine und alles mit auf die adnere seite bringen. dann an beiden seiten e^ .. schreiben und ein bisschen geschickt die potenzgesetze anwenden.

19.10.2006, 21:41

claudia_math

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das kann doch nicht sein! die Lösung ist doch vorgegeben!

19.10.2006, 22:00

maulwurf

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wenn du mir nich gluabst, dass die loesung falsch ist, dann setzte sie doch mal ein. dann kommt da raus
-1,7769...=3,5162...
und was ist wenn du 2 einsetzt?!:
2^3-3=2^5-3^3
8-3=32-27
5=5

19.10.2006, 22:04

pseudo-nym

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Zeig doch einfach mal her was du gerechnet hast.

20.10.2006, 10:21

marci_

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also ich habs jetzt auch mal versucht...bleib dann aber hängen...

$\begin{eqnarray*} 2^{2x+1}-3 =2^{x+3}-3^{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^x*2-3=2^x*2^3-3^x*3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*2^x-3=8*2^x-3*3^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*2^x*(1-4)=3*(1-3^x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6*2^x=3*(1-3^x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2*2^x=1-3^x \end{eqnarray*}$

so und da häng ich nun...

20.10.2006, 11:16

klarsoweit

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RE: exponentialfunktion
Ich stimme marci zu: das ist analytisch so nicht lösbar. Es ist zwar x=2 eine Lösung von
$\begin{eqnarray*} 2^{x+1} - 3= 2^{x+3} - 3^{x+1} \end{eqnarray*}$
aber außer Probieren, sehe ich da keine Herleitung.

Die angebliche Lösung $\begin{eqnarray*} x = \frac{ln(3) - 2 \cdot ln(2)}{ln(3) - ln(2)} \end{eqnarray*}$ paßt zur Aufgabe
$\begin{eqnarray*} 2^{x+1} - 3^x = 2^{x+3} - 3^{x+2} \end{eqnarray*}$

Vielleicht sollte claudia nochmal die Ausgangslage prüfen. Augenzwinkern

20.10.2006, 14:25

ArminTempsarian

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RE: exponentialfunktion
mit welchen methoden löst man dann sowas? Raten kann doch nicht der weisheit letzter schluss sein! oder?

20.10.2006, 14:29

marci_

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funktioniert hier vllt. das newton-verfahren?

20.10.2006, 14:31

pseudo-nym

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Man kann es grafisch lösen, indem man beide Seiten als Funktionen zeichnet und den x-Wert des Schnittpunkts (2|-8) als Lösung hernimmt. (glaub ich verwirrt

)

20.10.2006, 14:41

ArminTempsarian

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das is aber doch recht unbefriedigend, find ich...

20.10.2006, 15:00

maulwurf

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wenn ich bei marci_ s schritt weiter mache:
2=(3^x-3^0)/2^x

2=(3/2)^x-(1/2)^x

e²=e^((3/2)^x-(1/2)^x)

e²=(e^((3/2)^x))/(e^((1/2)^x))

e²=((e^(3/2))/(e^(1/2)))^x

e²=(e^1)^x

e²=e^x

x=2

sry, krieg das mit latex nicht hin, so ist es relativ unuebrsichtlich

20.10.2006, 15:04

pseudo-nym

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$\begin{eqnarray*} 2=\frac{3^x-3^0}{2^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=\left(\frac{3}{2}\right)^x-\left(\frac{1}{2}\right)^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e²=e^{\left(\frac{3}{2}\right)^x-\left(\frac{1}{2}\right)^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e²=\frac{e^{\left(\frac{3}{2}\right)^x}}{e^{\left(\frac{1}{2}\right)^x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e²=\left(\frac{e^{\left(\frac{3}{2}\right)}}{e^{\left(\frac{1}{2}\right)}}\right)^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e²=(e^1)^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e²=e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$

meinst du so?

20.10.2006, 15:09

derkoch

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Zitat:

Original von maulwurf
wenn ich bei marci_ s schritt weiter mache:
2=(3^x-3^0)/2^x

2=(3/2)^x-(1/2)^x

e²=e^((3/2)^x-(1/2)^x)

könntest du mich mit deinem wissen erhellen, wie du diese schritte umgeformt hast (welche rechenregeln stecken dahinter?) ich hab kein plan wie man so was macht! verwirrt

20.10.2006, 15:16

maulwurf

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beim ersten schritt hab ich ja einfach rübergebracht, wobei anstelle von 3^0 auch 1 stehen kann. ist eingetlich auch unnoetig so zuschrieben.
im zweiten schritt:
auf der rechten seite steht doch im prinzip (a+b)/c
also $\begin{eqnarray*} (a+b)/c=a/c+b/c \end{eqnarray*}$ (also brueche addieren rückwärts)
im dritten schritt:
wenn die linke seite im ersten schritt jetzt d wäre und die recht 2f, dann würde ja gelten:
d=2f
wenn man nun schreibt
e^d=e^(2f)
bleibt die ürsprünglicche aussage ja gleich, denn damit beide seiten gelich sind muss auhc hier gelten d=2f.

20.10.2006, 15:20

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^x} \neq (\frac{1}{2})^x \end{eqnarray*}$ smile

edit:
ergänzung: hab mich ein wenig "flappsig" ausgedrückt! smile

einschränkung nur für zähler =1, sonst geht das in die hose! smile

20.10.2006, 15:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^x} \neq (\frac{1}{2})^x \end{eqnarray*}$ smile

Das stimmt schon! Der Fehler liegt woanders. Ein Moment, ich zeige es gleich. Augenzwinkern

20.10.2006, 15:21

maulwurf

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foch, denn 1^x=1 , da kann nix anderes rauskommen.
und damit
$\begin{eqnarray*} (1^x)/(2^x)=(1/2)^x \end{eqnarray*}$

20.10.2006, 15:22

pseudo-nym

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aber $\begin{eqnarray*} 1=1^x \end{eqnarray*}$ oder nicht? verwirrt

20.10.2006, 15:22

klarsoweit

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Da liegt der Fehler:

Zitat:

Original von pseudo-nym
$\begin{eqnarray*} e²=\frac{e^{\left(\frac{3}{2}\right)^x}}{e^{\left(\frac{1}{2}\right)^x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e²=\left(\frac{e^{\left(\frac{3}{2}\right)}}{e^{\left(\frac{1}{2}\right)}}\right)^x \end{eqnarray*}$

20.10.2006, 15:24

derkoch

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^x} \neq (\frac{1}{2})^x \end{eqnarray*}$ smile

Das stimmt schon! Der Fehler liegt woanders. Ein Moment, ich zeige es gleich. Augenzwinkern

sicher, aber nur für den fall, daß der zähler 1 ist, darauf wollte ich hinaus! smile

siehe edit, von oben. smile

20.10.2006, 15:26

maulwurf

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upps, stimmt. danke. ich sollte ordentlicher schreiben...

20.10.2006, 15:29

klarsoweit

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Das ist ja auch an der Stelle der Fall. Das Problem habe ich oben zitiert.

Dazu noch ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{(2^3)}}{2^{(1^3)}} = \frac{256}{2} = 128 \end{eqnarray*}$

Nach der Formel vom maulwurf wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{(2^3)}}{2^{(1^3)}} = \left( \frac{2^2}{2^1} \right)^3 = 2^3 = 8 \end{eqnarray*}$

20.10.2006, 15:47

maulwurf

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so wenn mich nicht alles töauscht hab ichs jetzt:

los gehts beim letzten richitgen schritt, also den ersten den klarsoweit zitiert hat.

[latex $\begin{eqnarray*} (e^2)^(1/x)=((e^(1.5)^x)/(e^(0.5)^x))^(1/x) \end{eqnarray*}$

jetzt kann man ja linkst wieder 1/x jeweils im nenner und zaehler schreiben.
dann kann man die regel anwenden, die ich eben falsch angewendet hab, und es ist:

$\begin{eqnarray*} (e^2)^(1/x)=(e^1.5)/(e^0.5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^2)^(1/x)=e \end{eqnarray*}$

e²=e^x
x=2

20.10.2006, 15:49

maulwurf

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(e^2)^(1/x)=((e^(1.5)^x)/(e^(0.5)^x))^(1/x)

jetzt kann man ja linkst wieder 1/x jeweils im nenner und zaehler schreiben.
dann kann man die regel anwenden, die ich eben falsch angewendet hab, und es ist:
(e^2)^(1/x)=(e^1.5)/(e^0.5)
(e^2)^(1/x)=e

e²=e^x
x=2

sry, ich kriegs mit latex nicht hin

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