Differentialformen Beweis

26.02.2010, 16:32

tohuwabou

Differentialformen Beweis

Hallöle,
ich beschäftige mich zur Zeit mit Differentialformen, weil ich mich auf meine Analysis 3 Klausur vorbereite. Ich verstehe den Beweis einer Rechenregel nicht und zwar dieser : Für beliebiges $\begin{eqnarray*} \omega \in C^{2}(\Omega,Alt^{k}) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} d^{2} \omega:=d(d \omega)=0. \end{eqnarray*}$ .

Der Beweis geht folgendermaßen:

Sei zunächst $\begin{eqnarray*} f \in C^{2}(\Omega) \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} d^{2}f=d(\sum\limits_{i=1}^n f_{x_i}dx_i)=\sum\limits_{i=1}^n d(f_{x_i}) \wedge dx_i=\sum\limits_{i,j=1}^n f_{{x_i}{x_j}}dx_j \wedge dx_i=\sum\limits_{1\leq i<j\leq n} (f_{{x_j}{x_i}}-f_{{x_i}{x_j}})dx_i \wedge dx_j=0 \end{eqnarray*}$ nach dem Satz von Schwarz.

Für beliebige $\begin{eqnarray*} \omega=\sum\limits_{I} a_Idx_I \in C^{2}(\Omega,Alt^{k}) \end{eqnarray*}$ folgt nun $\begin{eqnarray*} d^{2} \omega=d(\sum\limits_{I} da_I \wedge dx_I) =\sum\limits_{I} d(da_I \wedge dx_I)= \sum\limits_{I}(d^{2}a_I \wedge dx_I-da_I \wedge d(dx_I))=0 \end{eqnarray*}$ .

Meine erste Frage taucht schon gleich im 2 Schritt auf. Wieso darf ich das $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ so in die Summe ziehen? Meines erachtens müsste man doch die Produktregel anwenden, denn $\begin{eqnarray*} f_{x_i} \end{eqnarray*}$ ist ja eine 0-Form auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx_i \end{eqnarray*}$ ist eine 1-Form auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Die Produktregel lautet: $\begin{eqnarray*} d(\omega \wedge \sigma)=d\omega \wedge \sigma +(-1)^{k} \omega \wedge d\sigma. \end{eqnarray*}$ . Wo ist dann der zweite Term? Was mache ich da falsch?

Die letzte Umformung vor " nach dem Satz von Schwarz " versteh ich auch nicht .

Wäre echt supi, wenn mir dabei jemand auf die Sprünge helfen könnte Big Laugh

Danke schonmal

26.02.2010, 17:27

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \dd : \text{Alt}^k\to\text{Alt}^{k+1} \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abbildung, das heisst $\begin{eqnarray*} \dd(\omega+\eta)=\dd\omega+\dd\eta \end{eqnarray*}$ für zwei k-Formen $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ . Das sollte das zweite Gleichheitszeichen erklären.

Für das dritte:
Hier wirkt $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ lediglich auf $\begin{eqnarray*} f_{x_i} \end{eqnarray*}$ und das Resultat ist das totale Differential von $\begin{eqnarray*} f_{x_i} \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} \dd f_{x_i}=\sum\limits_{j=1}^n\frac{\partial f_{x_i}}{\partial x_j}\dd x_j \end{eqnarray*}$ .

Zuletzt wurde verwendet, dass $\begin{eqnarray*} \dd x_i\wedge\dd x_j=-\dd x_j\wedge\dd x_i \end{eqnarray*}$ und [als Konsequenz davon] $\begin{eqnarray*} \dd x_i\wedge\dd x_i=0 \end{eqnarray*}$ .

26.02.2010, 19:07

tohuwabou

Auf diesen Beitrag antworten »

Also das dritte Gleichheitszeichen ist mir klar .. immerhin etwas schonmal Augenzwinkern

Nochmal zum zweiten:

ich bin mir nicht sicher, ob ich richtig verstanden habe was $\begin{eqnarray*} f_{x_i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx_i \end{eqnarray*}$ sind. Also $\begin{eqnarray*} f_{x_i} \end{eqnarray*}$ ist einfach die partielle Abl. von f nach $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und somit doch auch eine 0-Form weil f von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also nach $\begin{eqnarray*} Alt^{0}(\mathbb R^{n}) \end{eqnarray*}$ abbildet.

Das Differential df ist ja definiert durch $\begin{eqnarray*} df(x)(v)=<\bigtriangledown f,v> ,v \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ und mit der speziellen Koordinatenfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x_i \end{eqnarray*}$ erhält man $\begin{eqnarray*} dx_i(v)=<e_i,v> \end{eqnarray*}$ . Das Differential ist eine 1-Form auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ da es jedem Punkt x eine lineare Abbildung zuordnet.
Also hab ich doch in der Summe ein Produkt stehen
$\begin{eqnarray*} f_{x_i}dx_i \end{eqnarray*}$ . Ist dies gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} f_{x_i} \wedge dx_i \end{eqnarray*}$ ? So hab ich das verstanden, weil es ja beides Differentialformen sind und eine davon eine 0-Form. Also

$\begin{eqnarray*} d(\sum\limits_{i=1}^n f_{x_i}dx_i)=\sum\limits_{i=1}^n d(f_{x_i}dx_i)=d(f_{x_1}dx_1)+d(f_{x_2}dx_2)+...+d(f_{x_n}dx_n) \end{eqnarray*}$ . Ist es das, was du mit deiner ersten Aussage meintest?

Wie komm ich also für den ersten Term hier zb $\begin{eqnarray*} d(f_{x_1}dx_1) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} df_{x_1} \wedge dx_1 \end{eqnarray*}$ ?

Möglich, dass ich totalen Quatsch erzähle. Ich bin mir bei dem Thema noch sehr unsicher. verwirrt

Danke für die Hilfe
mfg tohuwabou

26.02.2010, 19:47

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion und ja, das ist auch eine 0-Form, aber vergiss das erst einmal.
Du hast $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und die kanonischen Koordinatenfunktionen $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n: \mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Dadurch kriegst du eine Basis von $\begin{eqnarray*} \text{Alt}^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ , für jedes $\begin{eqnarray*} \Omega\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen, durch die Differentiale der Koordinatenfunktionen $\begin{eqnarray*} \dd x_1,...,\dd x_n \end{eqnarray*}$ . Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \text{Alt}^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ ein reeller Vektorraum ist, also ist jede 1-Form $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eine Linearkombination
$\begin{eqnarray*} \omega=f_1\dd x_1+...+f_n\dd x_n \end{eqnarray*}$
mit Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1,...,f_n: \Omega\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Allgemein für eine k-Form $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ hat diese eine (Koordinaten-) Darstellung
$\begin{eqnarray*} \omega=\sum\limits_{1\leq i_1<...<i_k\leq n}f_{i_1...i_k}\dd x_{i_1}\wedge...\wedge\dd x_{i_k} \end{eqnarray*}$
mit passenden Funktionen $\begin{eqnarray*} f_{i_1...i_k} \end{eqnarray*}$ .
(Habt ihr das so getan?)

Dann kann man die äussere Ableitung definieren als
$\begin{eqnarray*} \dd\omega:=\sum\limits_{1\leq i_1<...<i_k\leq n}\dd(f_{i_1...i_k})\wedge\dd x_{i_1}\wedge...\wedge\dd x_{i_k} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \dd(f_{i_1...i_k}) \end{eqnarray*}$ das Differential der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{i_1...i_k} \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du leicht die Linearität nachrechnen.

Zitat:

Original von tohuwabou
Das Differential ist eine 1-Form auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ da es jedem Punkt x eine lineare Abbildung zuordnet.

Ja.

Zitat:

Original von tohuwabou
$\begin{eqnarray*} f_{x_i}dx_i \end{eqnarray*}$ . Ist dies gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} f_{x_i} \wedge dx_i \end{eqnarray*}$ ?

Habt ihr es so definiert? Dann ja, ansonsten nein. Und ich würde wetten, wenn ihr es so definiert habt, dann erst nach diesem Beweis.
Ich habe nachgeschaut:
Im Forster wird für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und eine k-Form $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ definiert:
$\begin{eqnarray*} a\wedge\omega=\omega\wedge a:=a\cdot\omega \end{eqnarray*}$ .
In dem Fall ist das was du geschrieben hast gültig. Nur du musst das als einfach eine andere Schreibweise für die Multiplikation einer Form mit einem Skalar verstehen, ansonsten hast du Recht und man würde hier einen Zirkelschluss produzieren.
Bemerke aber, dass diese Schreibweise konsistent mit der Definition von $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ ist mit
$\begin{eqnarray*} \dd(f\cdot\dd x_i)=\dd(f\wedge\dd x_i)=\dd f\wedge\dd x_i+f\wedge\dd(\dd x_i) \end{eqnarray*}$
nachdem $\begin{eqnarray*} \dd\circ\dd=0 \end{eqnarray*}$ gezeigt ist.

27.02.2010, 19:24

tohuwabou

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi system-agent, vielen vielen Danke für deine ausführliche Antwort. Hilft mir wirklich sehr weiter. Beantwortet nämlich sehr vieles was mir nicht klar war. Falls sich noch Fragen auftuen, meld ich mich einfach nochmal smile

Danke & schönen Abend

27.02.2010, 19:43

tohuwabou

Auf diesen Beitrag antworten »

übrigens ich hab nachgeschaut und wir haben es so definiert, allerdings schon vor dem Beweis. Was du im letzten Satz geschrieben hast , hat mich auch vorher irritiert.

Zitat:

Bemerke aber, dass diese Schreibweise konsistent mit der Definition von $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} \dd(f\cdot\dd x_i)=\dd(f\wedge\dd x_i)=\dd f\wedge\dd x_i+f\wedge\dd(\dd x_i) \end{eqnarray*}$ nachdem $\begin{eqnarray*} \dd\circ\dd=0 \end{eqnarray*}$ gezeigt ist.

Ich hab auch gesehen, dass es hinkommt mit der Produktregel wenn $\begin{eqnarray*} d\circ d=0 \end{eqnarray*}$ schon gezeigt worden wäre, aber genau das sollte man ja beweisen in dem Beweis. Irgendwie ist das doch komisch!?

27.02.2010, 20:24

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen sagte ich ja, sehe $\begin{eqnarray*} f\wedge\omega \end{eqnarray*}$ einfach als Maskerade von $\begin{eqnarray*} f\cdot\omega \end{eqnarray*}$ an, denn als nichts anderes ist es dann auch definiert.
Nach dem Beweis sieht man, dass die Definition nicht bloss naheliegend sondern auch konsistent mit allem ist.

Neue Frage »

Antworten »

Differentialformen Beweis

Verwandte Themen