Stochastisches Problem

26.02.2010, 18:13

flyflo01

Stochastisches Problem

Hallo,

hab ein Problem bei Verständnis der folgenden Aufgabe. Ich war ein paar Tage krank gewesen und hab deshalb einiges verpasst.

7.Kugelproblem

Zuerst Armin und dann Beate ziehen abwechselnd blind eine Kugel ohne sie wieder zurückzulegen (mit zurücklegen) aus einem Sack mit 50 Kugeln, davon sind 49 schwarz und 1 weiß. Wer zuerst die weiße Kugel zieht hat gewonnen. Hat Armin oder Beate die besseren Chancen?

Während ich nicht da war hat meine Klasse aufgeschrieben:

(mit zurücklegen):

$\begin{eqnarray*} P(Armin)= \sum\limits_{0}^\infty (\frac{1}{50})* ((\frac{49}{50})^{2} )^{i} = \frac{1}{50}*\frac{1}{1-(\frac{49}{50})^{i}} = \frac{50}{99} \end{eqnarray*}$

1. Frage: Woher kommt das Quadrat bei den 49/50 ?
2. Frage: Wie komme ich auf den zweiten Schritt? Aufgeschrieben worden ist, dass 1/50 a sein soll und 49/50 q. und dann noch das hier: $\begin{eqnarray*} s_{n} = a*\frac{1-q^{n+1} }{1-q} \end{eqnarray*}$ Der nenner vom zweiten ist klar nur wie komm ich auf den Zähler???
3.Frage wie komm ich im dritten Schritt auf 50/99???

(ohne zurücklegen):

$\begin{eqnarray*} P(Armin)= \frac{1}{50} + \frac{49}{50} * \frac{48}{49} * \frac{1}{48} + ... = \frac{25}{50} \end{eqnarray*}$
Frage: Wie kommt man auf die 25/50???

Hoffe dass ihr mir helfen könnt

26.02.2010, 20:26

Huggy

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RE: Stochastisches Problem
Mit zurücklegen

Man kann das mit der geometrischen Reihe lösen. Es geht aber auch viel einfacher. Bleiben wir bei der geometrischen Reihe. Sei

$\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{1}{50} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta=1-\alpha=\frac{49}{50} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeit, dass Arnim gewinnt

$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeit, dass Beate gewinnt

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeit, dass Arnim in seinem Zug n die weiße Kugel zieht

$\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlichkeit, dass Beate in ihrem Zug n die weiße Kugel zieht

$\begin{eqnarray*} a=\sum_{n=1}^{\infty}~a_n \end{eqnarray*}$

Die Summanden kannst du jetzt sukzessive ermitteln:

$\begin{eqnarray*} a_1=\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1=\alpha(1-a_1)=\alpha\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2=\alpha(1-a_1-b_1)=\alpha\beta^2 \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} a_3=\alpha\beta^4 \end{eqnarray*}$ usw.

Durch vollständige Induktion beweist du die allgemeine Formel und damit hast die geometrische Reihe mit $\begin{eqnarray*} \beta^2 \end{eqnarray*}$ als Faktor.

Es geht aber, wie gesagt auch viel einfacher.

ohne zurücklegen
Kürze doch mal den zweiten und die folgenden Brüche und überleg dir, wieviele Terme zu addieren sind.

26.02.2010, 20:42

flyflo01

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vielen dank für deine antwort.

scheint sich ganz logisch anzuhören was du geschrieben hast.

aber für heut abend mache ich erstmal schluss. schaue mir das morgen noch mal genau an

27.02.2010, 12:52

flyflo01

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habe das jetzt soweit verstanden. nur frag ich mich wie man von zweiten Schritt dann auf die 50/99 kommt? Was muss man da für i einsetzen?

und bei ohne zurücklegen kommt man dann beim kürzen auf 1/50.
also muss man dann 25 Terme addieren? wie kommt man auf 25?

27.02.2010, 13:01

Huggy

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Zitat:

Original von flyflo01
habe das jetzt soweit verstanden. nur frag ich mich wie man von zweiten Schritt dann auf die 50/99 kommt? Was muss man da für i einsetzen?

Da hast du etwas falsch aufgeschrieben. An die Stelle gehört kein i sondern eine 2. Da steht einfach der Faktor q der geometrischen Reihe und der ist hier $\begin{eqnarray*} (\frac{49}{50})^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

und bei ohne zurücklegen kommt man dann beim kürzen auf 1/50.
also muss man dann 25 Terme addieren? wie kommt man auf 25?

Jetzt schäm dich aber.
Was ergibt sich denn, wenn man 25 mal 1/50 addiert?

27.02.2010, 13:25

flyflo01

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ja dann hab ich das wohl irgendwo falsch abgeschrieben

und ja das mit dem addieren stimmt nicht. und wie komme ich sonst auf die 25/50?