Wahrscheinlichkeitsrechnung

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flyflo01 Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Hallo habe desweiteren ein Problem mit folgender Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 1 weiße und 7 schwarze Kugeln. Man vereinbart ein Spiel, das der gewonnen hat, der als erster die weiße Kugel gezogen hat.

a) hab ich hingekriegt, waren nur gewinnwahrscheinlichkeiten

b) Um die Gewinnwahrscheinlichkeit für den 2. Spieler zu erhöhen, schlägt jemand vor mit dreierlei Kugeln zu arbeiten: 2 weiße, 3 rote und 5 schwarze Kugeln. Spieler 1 beginnt und gewinnt beim ziehen einer weißen Kugel. Spieler 2 zieht als zweiter und gewinnt mit einer roten Kugel. Wie groß sind jetzt die Gewinnwahrscheinlichkeiten? - Das habe ich auch hinbekommen.

aber bei der Aufgabe c) weiß ich nicht weiter

c) Finde eine Kugelmischung aus drei Farben heraus, in der nun wirklich beide Spieler bei 3 Versuchen dieselben Chancen haben.

Hoffe dass ihr mir auch hierbei helfen könnt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Geht es um Ziehen mit oder ohne zurücklegen?
flyflo01 Auf diesen Beitrag antworten »

wahrscheinlich sollen wir beide Fälle bearbeiten.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute inzwischen eher, es geht zumindest bei b) und c) nur um Ziehen mit zurücklegen.

Dann kannst du dir für c) uberlegen: Wenn die Chancen nach 1 Zug von beiden gleich groß sind, dann sind sie es auch nach 2 und 3 und ... Zügen. Du brauchst dir also nur eine Kombination auszudenken, die nach 1 Zug gleiche Chancn ergibt.

Würde man c) ohne zurücklegen betrachten, wird es etwas undurchsichtig, weil es dann bis zu drei Möglichkeiten pro Zug gibt. Man kann die eigene Gewinnfarbe ziehen, man kann die Gewinnfarbe des anderen ziehen und man kann die neutrale Farbe ziehen.
flyflo01 Auf diesen Beitrag antworten »

kann manda bei der c) einfach sagen Spieler 1 gewinnt bei weiß+rot und Spieler 2 bei schwarz? oder müssen da in der Mischung alle drei Farben vorkommen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Aufgabenstellung müssen drei Farben vorkommen: Weiß, Rot und Schwarz.
Spieler 1 gewinnt, wenn er Weiß zieht. Spieler 2 gewinnt, wenn er Rot zieht.
 
 
flyflo01 Auf diesen Beitrag antworten »

muss dann da die anzahl der roten und weißen kugeln einfach gleich groß sein?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das funktioniert nicht. Aber du kannst es ja ausprobieren.

Gib dir eine Wahrscheinlichkeit < 1/2 als Bruch vor, dass Spieler A im ersten Zug gewinnt. Dann kannst du ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen für Spieler B sein muss, um bei seinem ersten Zug auf die gleiche Wahrscheinlichkeit wie A zu kommen. Wenn du die Brüche auf den Hauptnenner bringst, ergibt das die Gesamtzahl der Kugeln.
flyflo01 Auf diesen Beitrag antworten »

nehmen wir an A gewinnt mit der Wahrscheinlichk. von 2/3.

"Dann kannst du ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen für Spieler B sein muss, um bei seinem ersten Zug auf die gleiche Wahrscheinlichkeit wie A zu kommen."

das versteh ich jetzt nicht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sagte doch, nimm einen Wert < 1/2. Wenn A schon im ersten Zug mit Wahrscheinlichkeit 1/2 oder mehr gewinnt, kann doch B nie mehr auf eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 kommen. Und es sollen doch beide die gleichen Gewinnchance haben.

Nimm z, B. 1/3 für A. Dann gewinnt er im ersten Zug mit p1 = 1/3. B kommt überhaupt nur dran, wenn A im ersten Zug nicht gewinnt, also in 2/3 aller Fälle. Jetzt nimm an, dass B, wenn er dran ist, mit Wahrscheinlichkeit b seine Gewinnfarbe zieht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt dann B in seinem ersten Zug?
Und wie muss man b wählen, dass das auch 1/3 ergibt?
flyflo01 Auf diesen Beitrag antworten »

also b kommt nur dran in 2/3 der Fälle. und dann gewinnt auch er nur wieder in 1/3 der Fälle. Also vl. ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist wirklich schlimm mit dir. Ich bringe das deshalb einfach mal zu Ende.

A zieht seine Farbe mit Wahrscheinlichkeit a.
B zieht seine Farbe mit Wahrscheinlichkeit b.

Für a wird probeweise a = 1/3 gewählt. b soll so bestimmt werden, dass beide die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit haben.

1. Zug von A: Er gewinnt mit Wahrscheinlichkeit p1 = a = 1/3

1. Zug von B: Er gewinnt mit Wahrscheinlichkeit q1 = 2/3*b
Die 2/3, weil er ja nur dran kommt, wenn A nicht schon gewonnen hat. Hier ist zu multiplizieren, nicht zu addieren.

Es soll sein p1 = q1. Also 1/3 = 2/3*b. Daraus folgt b = 1/2.

Jetzt haben nach dem ersten Zug beide mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewonnen. Und deshalb bleibt das auch in der Folge so. Deshalb muss die Gesamtwahrscheinlichkeit für beide 1/2 sein.

Jetzt zu den Kugelzahlen. Die müssen durch 3 und 2 teilbar sein. Es kommen also z. B. 6 Kugeln in Frage. Davon müssen wegen a =1/3 2 weiß sein und wegen b =1/2 3 rot sein. Es bleibt 1 schwarze Kugel.

Zur Kontrolle kann man die Gesamtwahrscheinlichkeit für A über die geometrische Reihe berechnen. Es ergibt sich:

flyflo01 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, vielen dank für deine Bemühungen
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