Primitivwurzel

26.02.2010, 18:26	datAnke	Auf diesen Beitrag antworten »
Primitivwurzel hallo die Aufgabe: Zeige: Ist g eine Primitivwurzel modulo n und ist $\begin{eqnarray} a\in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ggT(a, \phi (n) )=1 \end{eqnarray}$ , so ist auch $\begin{eqnarray} g^a \end{eqnarray}$ eine Primitivwurzel modulo n. Lösungsansatz $\begin{eqnarray} g^{p-1}\equiv 1(p) \end{eqnarray}$ g ist eine Primitvwurzel wenn p-1 der kleinste Exponent ist für die Kongruenz $\begin{eqnarray} (g^a)^{p-1}\equiv 1(p) \end{eqnarray}$ wenn p-1 und a nicht teilerfremd sind ist der Exponent nicht der kleinste, aber wie schreib ich das wieder auf danke datAnke
26.02.2010, 20:01	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wir hatten einen Satz: Wenn g die Ordnung n hat. Und a ist Teilerfremd zu n, so hat g^a ebenfalls die Ordnung n. Daraus folgt direkt die Behauptung. Ob dieses zur Klausur reichen wird ist fraglich. Man könnte daher: $\begin{eqnarray} (g^a)^{\phi(n)}\equiv 1mod n \end{eqnarray}$ erstmal zeigen. Daraus folgt, dass die Ordnung von g^a nun die Ordnung von g teilt. zZ bleibt damit noch $\begin{eqnarray} ord(g)\|ord(g^a) \end{eqnarray}$ . Damit hättest du alles gezeigt. Dazu benutze die Bezout Gleichung für deine Teilerfremde Zahlen. Du kannst dann diese 1 ergänzen. mfg.

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