stichprobe mit zurücklegen, ohne reihenfolge

26.02.2010, 18:56

mondspeer

stichprobe mit zurücklegen, ohne reihenfolge

Hallo miteinander,

ich weiß nicht genau, ob ich hier an der richtigen Stelle bin und habe in der Suchfunktion keine Antwort gefunden. Deshalb versuche ich es einfach.

Ich habe in Problem in der Kombinatorik:

4 Kaffesorten im Automat.
10 Personen ziehen jeder einen Kaffee.

4 hoch 10 Möglichkeiten: 1048576 Möglichkeiten.

Aber: Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn die Reihenfolge der Ziehungen nicht berücksichtigt wird (z.B. weil ich das Tablett mit den 10 Kaffees nachher ins Studentenheim trage).

Dazu gibt es im Statistik-Buch die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac {N!} {(N-n)! * n!} \end{eqnarray*}$

Wenn aber in der o.g. Aufgabe N = 4 und n = 10 ist, ergibt die Formel Unsinn (nämlich die Fakultät von -6), oder sehe ich das falsch?

Kann mir jemand helfen?

Gruß,
Mondspeer

27.02.2010, 00:24

SteMa

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RE: stichprobe mit zurücklegen, ohne reihenfolge
Meines Erachtens wird die von dir angeführte Formel falsch verwendet.
Ich will dir eine Möglichkeit aufzeigen, ein solches Problem (ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen) anzugehen.
Da dies im Zwiegespräch nicht möglich ist, könnte ich mittels PN den Weg aufzeigen. Das Problem ist aber auch für
andere interessant, weshalb ich das Boardprinzip jetzt weit auslege.

4 Kaffeesorten (oder sonstiges):A, B, C, D
ungeordnete Stichprobe vom Umfang 10
Eine dieser mögl. Stichproben ist z.B. ADAABACCDD
da es sich um eine ungeordnete Stichprobe handelt, können wir umstellen:
(*) AAAA-B-CC-DDD
wir benötigen also 3 Trennzeichen (in (*) sind dies "-" Augenzwinkern

z.B. eine 1, statt A,B,C,D wählen wir eine 0
dann sieht die Stichprobe so aus:
0000101001000
1000000000011 bedeutet: von Sorte A wird nichts gewählt, die Sorte B wird 10mal gewählt, C und D gehen ebenso leer aus.
Es geht also darum, 3 Einsen auf 13 zur Verfügung stehenden Plätzen zu platzieren. Dies geht auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Arten.
Wegen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ {n-k} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gilt auch
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {4+10-1} \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Letztere Form, da es allgemein $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {n+k-1} \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten gibt.
Dabei ist
n = Anzahl der Elemente (hier Kaffeesorten)
k = Umfang der Stichprobe

Bei deinem Problem gibt es also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 10 \end{pmatrix} = 286 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.
Gruß SteMa

27.02.2010, 16:31

mondspeer

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Vielen Dank für die Antwort.

Aber ich kann sie noch nicht ganz verstehen.

Ich verstehe einen meiner Fehler, ich habe in meinem oberen Post die falsche Formel eingesetzt. (Ohne Zurücklegen.)

Dennoch habe ich ein Problem:

Die von Dir geschriebene Formel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {n+k-1} \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ...

lässt sich doch zum Rechnen auflösen zu ...

$\begin{eqnarray*} \frac {(n+k-1)!} {(n-k)! * k!} \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Dann wäre das

$\begin{eqnarray*} \frac {(13)!} {(4-10)! * 10!} \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Aber dann bin ich wieder bei meiner Fakultät von -6.
Wo ist also der Fehler in meiner Rechnung?

Gruß,
Gerald

27.02.2010, 16:45

mondspeer

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... ok, ich habe noch einen Denkfehler gemacht.

(Mein Frau hat den Dreh 'rausgefunden.)

$\begin{eqnarray*} \frac {(n+k-1)!} {(n-k)! * k!} \end{eqnarray*}$ ist eine falsche Auflösung.

Ich muss ja das untere (kleine n) durch den kompletten Term ersetzen.

$\begin{eqnarray*} \frac {(n+k-1)!} {((n+k-1)-k)! * k!} \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac {13!} {(13-10)! * 10!} \end{eqnarray*}$ , oder?

Und dann kommt auch die richtige Lösung raus.

Deshalb ist auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 10 \end{pmatrix} = 286 \end{eqnarray*}$ das Gleiche.

Viele Dank und Gruß,
Gerald (aka Mondspeer)

27.02.2010, 17:25

SteMa

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RE: stichprobe mit zurücklegen, ohne reihenfolge
Weshalb willst du

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {n+k-1} \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
n = Anzahl der Elemente (=Mächtigkeit der Menge M, aus der die Stichprobe genommen wird)
k = Umfang der Stichprobe

in eine andere Form bringen?
Sobald du analysiert hast, dass es sich um eine ungeordnete Stichprobe mit Wiederholung (Zurücklegen) handelt, führt doch dies sofort zur Lösung!
Wie man die Formel herleiten kann habe ich versucht, dir an deinem Beispiel zu erklären.

28.02.2010, 11:45

mondspeer

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Nein, es geht nicht darum, die Formel umzustellen, sondern sie auszurechnen.

Mein Taschenrechner kann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {n+k-1} \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht rechnen.

Also muss ich doch entsprechend der Formelsammlung ausrechnen, oder?

Gruß,
Gerald

28.02.2010, 18:23

SteMa

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Mit deinem TR kannst du bis 69! rechnen. Größere Fakultäten kannst du über Google erfahren, oder du musst
Näherungsformeln verwenden, so z.B. die Stirlingsche Näherungsformel (Vorsicht wegen des Fehlers!):

$\begin{eqnarray*} n! \approx \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot \sqrt{2 \pi n} \end{eqnarray*}$

28.02.2010, 20:34

mondspeer

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Nee, das war nicht meine Frage. So große Zahlen kommen in der Klausur nicht vor. Vielen Dank.

Meine Frage entstand daher, dass ich nicht wusste (weiß), wie ich im meinem TR die Formel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {n} \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eingeben soll.

Also muss ich diesen Term ja auflösen, um ihn eintippen zu können.
(Hat sich zwar erledigt, weil meine Frau in Ihrem TR die Formel direkt eingeben kann, aber ich würde dennoch gerne erfahren, wie Du das rechnest). Also den konkreten Rechenweg. Nicht die Herleitung. Die ist inzwischen klar.

Gruß,
Gerald

28.02.2010, 21:22

wisili

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Je nach Taschenrechner heisst der Befehl evtl.
nCr(n,k).

28.02.2010, 22:17

ObiWanKenobi

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Ich verstehe den Wunsch das ganze so umzuformen, dass man es ohne Nutzung der n über k Funktion am Taschenrechner löst. Du hast ja schließlich auch den richtigen Weg gefunden. Einfacher wäre aber doch folgende Betrachtung:

n+k-1 ist doch eine natürliche Zahl (in deinem Fall 13. Nun betrachtest du diese Zahl einfach als Dein neues n.

Und nach n über k = n! / (n-k)! * k!

28.02.2010, 23:51

ObiWanKenobi

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Ergänzung!
Wenn man dann die ganze Sache notiert und kürzt geht es sogar ganz ohne Taschenrechner:

2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13
____________________________

2*3*4*5*6*7*8*9*10 * 2*3

Kürzen Schritt 1:

11*12*13
________
2*3

Kürzen Schritt 2:

11*2*13 = 286 Freude

01.03.2010, 17:17

mondspeer

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Zitat:

Original von ObiWanKenobi
Ich verstehe den Wunsch das ganze so umzuformen, dass man es ohne Nutzung der n über k Funktion am Taschenrechner löst. Du hast ja schließlich auch den richtigen Weg gefunden. Einfacher wäre aber doch folgende Betrachtung:

n+k-1 ist doch eine natürliche Zahl (in deinem Fall 13. Nun betrachtest du diese Zahl einfach als Dein neues n.

Und nach n über k = n! / (n-k)! * k!

Ja, genau, das war der Weg, den ich gesucht habe.

Dann muss ich auch nicht mehr kürzen.

Danke für die Antworten.

Gruß,
Gerald

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