Invertierbare Matrix

26.02.2010, 19:34	bibber	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbare Matrix Seien A und B invertierbare n * n - Matrizen. Weisen Sie unter expliziter Benennung der verwendeten Rechenregeln nach: Dann ist auch das Produkt A . B invertierbar, und es gilt: $\begin{eqnarray} \left(A \cdot B\right)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} \end{eqnarray}$ So nun sage ich $\begin{eqnarray} \left(A \cdot B\right)^{T} = B^{T} \cdot A^{T} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{T} = A^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B^{T} = B^{-1} \end{eqnarray}$ So reicht das oder was meint ihr dazu???
26.02.2010, 19:47	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invertierbare Matrix Wieso sollte allgemein $\begin{eqnarray} A^{-1}=A^T \end{eqnarray}$ gelten? Gegenbeispiel anhand einer 1x1-Matrix: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{5}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^T\neq A^{-1} \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
26.02.2010, 19:52	bibber	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gilt natürlich nur wenn die Matrixen orthogonal sind Hab sonst keine Ahnung, wie ich das beweisen soll
26.02.2010, 19:56	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Eigenschaft muss denn die Matrix $\begin{eqnarray} (AB)^{-1} \end{eqnarray}$ haben? Das heißt: Wie ist diese Matrix überhaupt erklärt? Erfüllt $\begin{eqnarray} B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray}$ diese Eigenschaft?
26.02.2010, 20:02	bibber	Auf diesen Beitrag antworten »
In meinem ersten Post ist die Fragenstellung der Aufgabe explizit benannt worden
26.02.2010, 20:33	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Idee war jetzt ja auch eher, dass Du Dir mal über die von mir gestellten Fragen Gedanken machst. Das ist nämlich der halbe Weg zum Ziel.
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26.02.2010, 21:43	bibber	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(A \cdot B\right)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(A \cdot B\right)^{-1} \cdot B \cdot A = B^{-1} \cdot B \cdot A^{-1} \cdot A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(A \cdot B\right)^{-1} \cdot (B \cdot A) = B^{-1} \cdot B \cdot A^{-1} \cdot A \end{eqnarray}$ Hilfstipps: $\begin{eqnarray} \left(A \cdot B\right)^{-1} \cdot (B \cdot A) = E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B^{-1} \cdot B = E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{-1} \cdot A = E \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E = E \end{eqnarray}$ Geht das Jungs und Mädels ???
27.02.2010, 02:25	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist vollkommen unverständlich, da Du nicht deutlich machst, was hier eine Behauptung und was eine Schlussfolgerung ist. Ich bin jedenfalls leider nicht in der Lage, hier etwas vernünftiges herauszulesen. Gruß, Reksilat.
27.02.2010, 02:35	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn zu zeigen ist, dass aus $\begin{eqnarray} A,B \in GL_n(K) \end{eqnarray}$ folgen soll, dass auch $\begin{eqnarray} (A\cdot B) \in GL_n(K) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1} \end{eqnarray}$ ist, dann kannst du das natürlich nicht so machen. Du verwendest die Behauptung um die Behauptung zu zeigen, das ist in etwa vergleichbar mit dem Benutzen eines Wortes um genau dieses Wort zu erklären. Fang an mit $\begin{eqnarray} A\cdot B \cdot B^{-1} \cdot A^{-1} \end{eqnarray}$ und nutz die Assoziativität der Multiplikation.

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