Spur einer Matrix multiplikation mit einer Orthogonalen ist größer gleich die kleinsten Eigenwerte

26.02.2010, 20:39	Wutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur einer Matrix multiplikation mit einer Orthogonalen ist größer gleich die kleinsten Eigenwerte Hallo, ich habe ein Problem bei dem ich leider nicht mehr weiter weiß, vielleicht hat jemand von euch eine Idee, ich würde mich über Vorschläge jedenfalls freuen. Es geht um folgendes: Gegeben sei eine Diagonalmatrix deren Elemente in der Diagonalen der Größe nach geordnet sind. $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} <br /> \lambda_1 \leq...\leq \lambda_n. <br /> \end{eqnarray}$ Außerdem haben wir m orthonormierte Spalten der Länge n mit m kleiner gleich n $\begin{eqnarray} <br /> q_1,...,q_m. <br /> \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist dann folgende Abschätzung $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{i=1}^n \lambda_i \left(\sum_{k=1}^m q_{ik}^2 \right) \geq \lambda_1+...+\lambda_m<br /> \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} <br /> q_{ik}<br /> \end{eqnarray}$ das i-te Element des k-ten Vektors $\begin{eqnarray} <br /> q_k<br /> \end{eqnarray}$ ist. Wenn es jemanden weiterhilt kann man das obige Problem umformen in $\begin{eqnarray} <br /> \text{spur}\left(\begin{pmatrix} q_1^T \\ \vdots \\ q_m^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} (q_1...q_m)\right) \geq \lambda_1+...+\lambda_m<br /> \end{eqnarray}$
27.02.2010, 21:39	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lambdas sollten nichtnegativ sein. Sonst stimmt das nicht.
27.02.2010, 21:48	Wutzel	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, habe ich vergessen zu erwähnen, danke. Hast du vielleicht eine Idee wie man das alles zeigen kann?
27.02.2010, 22:58	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Eventuell mit dem Satz von Courant-Fischer. Es gab mal eine Aufgabe hier auf dem Board, bei der dieser Satz verwendet wurde, aber ich finde den Thread nicht mehr. EDIT: Denn das, was links in deiner Ungleichung steht, ist gleich $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^m\,\langle Aq_k,q_k\rangle, \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} A = {\rm diag}\,(\lambda_1,\dots,\lambda_n). \end{eqnarray}$

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