Integral über Produkt von Dichte und Verteilungsfunktion

26.02.2010, 22:02

Hans Markus

Integral über Produkt von Dichte und Verteilungsfunktion

Hallo, hat jemand eine Idee wie man hier rangeht?

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{z}f_{X}(v)F_{Y}(v)dv \end{eqnarray*}$

Partielle Integration führt zu nichts. Help! verwirrt

26.02.2010, 22:10

wisili

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RE: Integral über Produkt von Dichte und Verteilungsfunktion
Das lässt man so stehen (solange man gar nichts weiss über f und F).

26.02.2010, 22:23

Hans Markus

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Ne, das muss noch weiter zu vereinfachen gehen. Mache ich vielleicht bei der partiellen Integration was falsch? Ich komme auch 0=0.

26.02.2010, 22:29

wisili

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Dann ist aber zumindest X=Y und F'=f.

26.02.2010, 22:32

Hans Markus

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wie würdest du es denn machen wenn X=Y?

26.02.2010, 22:37

wisili

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$\begin{eqnarray*} \left[\frac{F^{2}(v)}{2}\right]_{-\infty }^z \end{eqnarray*}$

(F'=f vorausgesetzt. Prüfe durch Ableiten.)

26.02.2010, 22:40

Hans Markus

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Wie kommst du darauf?

26.02.2010, 22:49

Hans Markus

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Ich sehe schon, danke

26.02.2010, 23:04

Hans Markus

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Ich denke dann ist mein Ansatz falsch. Die ursprüngliche Aufgabe ist die "joint density" des Maximums und des Minimums einer Stichprobe der größe n zu finden. Sei X das Minimum und Y das Maximum. Zu finden ist also:

$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) \end{eqnarray*}$

X und Y sind offensichtlich nicht unnabhängig. Ich wollte erst die gemeinsame Verteilungsfunktion finden und dann partiell ableiten.

$\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{x}^{y}f_{X,Y}(v,t)dtdv = \int_{-\infty}^{y}\int_{x}^{y}f_{X}(v)f_{Y}(t)dtdv \end{eqnarray*}$

und nu?

26.02.2010, 23:23

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Zitat:

Original von Hans Markus
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{y}\int_{x}^{y}f_{X,Y}(v,t)dtdv = \int_{-\infty}^{y}\int_{x}^{y}f_{X}(v)f_{Y}(t)dtdv \end{eqnarray*}$

Gerade eben sagst du noch richtigerweise, dass X und Y nicht unabhängig sind - und gleich darauf formst du so um, als wären sie es doch. unglücklich

----------------------------------------------------------------

Es sei $\begin{eqnarray*} Z_1,\ldots,Z_n \end{eqnarray*}$ deine mathematische Stichprobe (mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ), und demzufolge dann $\begin{eqnarray*} X=\min(Z_1,\ldots,Z_n) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Y=\max(Z_1,\ldots,Z_n) \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} P(X>x,Y\leq y) = P(x<Z_1\leq y, x<Z_2\leq y, \ldots x<Z_n\leq y) = (F(y)-F(x))^n \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq y) = \lim\limits_{x\to-\infty} P(X>x,Y\leq y) = (F(y))^n \end{eqnarray*}$

sowie daraus

$\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(x,y) = P(X\leq x,Y\leq y) = P(Y\leq y) - P(X>x,Y\leq y) = (F(y))^n - (F(y)-F(x))^n \end{eqnarray*}$ ,

womit die zugehörige Dichte $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) \end{eqnarray*}$ dann kein Problem mehr sein sollte. Alle obigen Betrachtungen gelten natürlich nur für $\begin{eqnarray*} x\leq y \end{eqnarray*}$ .

26.02.2010, 23:30

Hans Markus

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Danke. Nur noch mal zum Verständnis. Ich habe doch durch die Integrale die Bereiche so eingeschränkt, dass X und Y hinter dem Integral unabhängig sein sollten? Demnach kann X nie größer als Y werden. Der Bereich in dem sich das Minimum bewegen kann ist also durch das Maximum nach oben begrenzt und vice versa.

26.02.2010, 23:33

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"X und Y hinter dem Integral unabhängig" ist mathematisch völliger Käse. LOL Hammer

26.02.2010, 23:41

Hans Markus

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Ok, aber mir ist wirklich nicht ganz klar warum. Wir sind uns doch einig, dass X nicht größer sein kann als Y. Und die Grenzen des Integrals sind doch so ausgelegt. Ich dachte, dass wenn X sich "frei bewegen kann" es jeden Wert annehmen, genau wie Y, in einer gemeinsamen Dichte geht das aber nicht mehr, weil X nur maximal Y sein kann. Wieso sind X und Y noch voneinander anhängig, wenn die Werte die sie annehmen sich ausschließen?

26.02.2010, 23:49

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Du weißt schon, was stochastische Unabhängigkeit bedeutet? Das was du da redest, hat nichts damit zu tun.

Ich hoffe nicht, dass du einer von denen bist, die "unabhängig" und "disjunkt" miteinander verwechseln? Wäre ein schlimmer Denkfehler!

26.02.2010, 23:55

Hans Markus

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Die Definition ist mir bekannt aber die Intuition fehlt mir irgendwie noch, bzw meine Intuition ist falsch. Ich denke es hat was damit zu tun ob X einen Einfluss auf Y ausübt. Dadurch, dass X einen bestimmten Wert annimt wird Einfluss auf die Werte ausgeübt die Y annehmen kann? Also Blockade dazwischen und Einfluss verhindern, war mein Gedanke.

27.02.2010, 00:05

wisili

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Die wundersame Verwandlung einer partiellen Integrationsaufgabe in ein Minimum-Maximum-Problem oder
die wundersame Verwandlung von Mist in Käse oder
wieso einem manchmal nur noch Zynismus übrigbleibt.

27.02.2010, 00:10

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Sehr treffend formuliert. Big Laugh

Bewundernswert ist immerhin die Beharrlichkeit, an so einem verschwommen mystischen "Weg" (?!) festzuhalten, wo doch eine mathematisch saubere, absolut wasserdichte Alternative aufgezeigt wurde.

27.02.2010, 01:55

Hans Markus

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Ihr versteht mich falsch, ich beharre nicht auf meinem Weg und sehe auch den vorgeschlagenen Weg ein. Mir geht es jetzt darum zu erkennen wo genau mein Gedankengang falsch war und warum, damit ich ähnliche Fehler in der Zukunft vermeiden kann. Wenn sowas hier im Forum nicht diskutiert wird dann entschuldige ich mich.

@wisili: Ja, schön zynisch gesagt, vielleicht solltest du dich lieber bei Harald Schmidt als Sidekick bewerben als hier Tutor zu spielen. Weiterbringen tust du mich nicht mit dieser Art von Kritik nicht Augenzwinkern

27.02.2010, 02:00

Hans Markus

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Also um es noch mal auf den Punkt zu bringen. Was mich jetzt beschäftig ist folgendes: Wieso sind X und Y unabhängig, obwohl X zwangsweise kleiner ist als Y wenn man beide gemeinsam betrachtet? Mit welcher Überlegung hätte ich das von Anfang an erkennen können?

27.02.2010, 07:55

wisili

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Zitat:

Original von Hans Markus
X und Y sind offensichtlich nicht unnabhängig.

Zitat:

Original von Hans Markus
Wieso sind X und Y unabhängig, obwohl X zwangsweise kleiner ist als Y wenn man beide gemeinsam betrachtet

27.02.2010, 08:01

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@Hans Markus

Irgendwie kannst oder willst du die Unabhängigkeit einfach nicht verstehen. unglücklich

Zitat:

Original von Hans Markus
Wieso sind X und Y unabhängig, obwohl X zwangsweise kleiner ist als Y wenn man beide gemeinsam betrachtet?

Wieso sagst du "obwohl" ? Gerade weil X zwangsweise kleiner ist als Y, sind die beiden nicht unabhängig!

Nehmen wir irgendeinen Wert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ aus dem Wertebereich unserer stetig verteilten Grundgesamtheit, d.h. ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < F(c) < 1 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt sicher sowohl $\begin{eqnarray*} P(X>c)>0 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} P(Y\leq c)>0 \end{eqnarray*}$ , aber ebenso $\begin{eqnarray*} P(X>c,Y\leq c)=0 \end{eqnarray*}$ (siehe dein "zwangsweise kleiner"), womit also

$\begin{eqnarray*} P(X>c) \cdot P(Y\leq c) \neq P(X>c,Y\leq c) \end{eqnarray*}$

folgt und man damit die Unabhängigkeit bereits im negativen Sinne abhaken kann.

27.02.2010, 14:51

Hans Markus

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Danke Arthur Dent, jetzt sehe ich worum es geht.

@wisili, ich habe mich mein schon ziemlich oft in meinem Leben gefragt warum Mathematiker nicht alle überaus erfolgreich im Leben werden, schließlich beherrschen sie besser als jeder andere Probleme zu formalisieren und zu lösen, was ich sehr schätze und für eine der wertvollsten Fähigkeiten halte. Stattdessen sehe ich Mathematiker die in Restaurants als Koch arbeiten und sich beschweren, das sei nicht was sie wollten. Ich glaube mir wird langsam klar wieso. Vielen von Euch fehlt die Fähigkeit vom völlig korrekten Formalismus wegzudenken und sich in andere hineinzuversetzen. Anstatt mir nachweisen zu wollen, dass diese zwei Zitate von mir widersprüchlich sind und sich über mich lustig zu machen könnte man auch versuchen zu erörtern wieso sie für mich vielleicht keinen Widerspruch darstellen und dann darauf schließen, wo mein Denkfehler liegt. Ich kann dir nur wünschen, dass du nicht einer von der Sorte bist, sondern hier nur etwas überheblich rüberkommst.

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