Basisdarstellung

27.02.2010, 01:22	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisdarstellung Guten Abend! Kann mir jemand zeigen, wie man normalerweise eine duale Basis richtig als Ergebnis schreibt? Also zum Beispiel: A = (...) Schreibt man A als Matrix, als Vektoren oder wie? Dankeschön für die Antwort!
27.02.2010, 09:37	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du eine Basis $\begin{eqnarray} B=(B_1,...,B_n) \end{eqnarray}$ in Form von Spalten gegeben, so kannst du die duale Basis darstellen als Zeilen der Matrix, die die Inverse zu der durch die Spalten $\begin{eqnarray} B_1,...,B_n \end{eqnarray}$ gegebenen Matrix ist. Nachtrag: Allgemeiner gilt dieser Zusammenhang: Hat man zwei Basen $\begin{eqnarray} B,C \end{eqnarray}$ eines Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathcal V \end{eqnarray}$ und zwei Basen $\begin{eqnarray} B^,C^* \end{eqnarray}$ des Dualraums $\begin{eqnarray} \mathcal V^* \end{eqnarray}$ , so gilt: $\begin{eqnarray} ^{B^}id_{\mathcal{V}^}~^{C^} = \left(~^{C}id_\mathcal{V}~^B\right)^{tr} \end{eqnarray}$ , d.h. die Basiswechselmatrix von $\begin{eqnarray} C^ \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} B^* \end{eqnarray}$ im Dualraum ist die transponierte Matrix des Basiswechsels von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray*}$ im Vektorraum. Eine Basis gibt man natürlich (immer) als Tupel von Vektoren und nicht als Matrix an.
27.02.2010, 14:00	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wäre folgende Darstellung richtig für eine duale (Beispiels-)Basis: $\begin{eqnarray} A^ = ( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
27.02.2010, 14:43	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, wie man's nimmt. Streng genommen sind die dualen Basisvektoren ja Linearformen (hätte ich vielleicht noch deutlich sagen können), die mit Zeilen identifiziert werden können (die Abbildung ist dann die Multiplikation Zeile * Spalte). Außerdem wäre hier im konkreten Fall natürlich zu klären, von welcher Basis du überhaupt ausgegangen bist.
27.02.2010, 15:45	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Von welcher Basis ich ausgegangen bin, kann ich dir sagen: von keiner. Das ist schlicht ein willkürliches Beispiel, weil es mir NUR um die Schreibweise geht, wie man denn eine duale Basis schlussendlich nieder schreibt.
27.02.2010, 16:14	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, eine meines Erachtens vollständige Schreibweise lautet $\begin{eqnarray} A^= \left( \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \mapsto (1,2,3)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \mapsto (2,3,4)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \mapsto (3,4,5)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ . Uns wurde jedoch in der LA I auch erlaubt, das ganze als $\begin{eqnarray} ((1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)) \end{eqnarray*}$ oder auch in Spaltenform zu schreiben. Anmerken sollte man hier noch, dass die "Basisvektoren", die du angegeben hast, linear abhängig sind, in diesem speziellen Fall liegt also keine Basis vor, aber darum schien es hier ja gar nicht zu gehen.
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27.02.2010, 16:59	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank! Ja, das ist genau das, was ich wissen wollte ..stimmt, eine mögliche Lösung wäre das natürlich nicht (linear abhängig) - aber ich legte den Fokus nur auf die Schreibweise Vielen herzlichen Dank!

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