gk-12 stochastik aufgabe

12.06.2004, 18:57

Eva

gk-12 stochastik aufgabe

Ich schreibe in ein paar Tagen Matheklausur, und bin auf ein Problem gestoßen, als ich ein paar Aufgaben nochmals durchgegangen bin.

Aufgabenstellung:
Aus der Menge {1,2,...,9} werden drei Ziffern ausgewählt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle Ziffern größer als 5, wenn jede Ziffer mehrmals ausgewählt werden darf?

Mein Lösungsweg:

Mächtigkeit von Omega =9³; Mächtigkeit von A =4³; P(A)=8,78%;

der Lösungsweg meines Lehrers:

$\begin{align*} \|\Omega\| = $\array{9+3-1\\3}$ \end{align*}$
$\begin{align*} \|A\| = $\array{4+3-1\\3}$ \end{align*}$

P(A)=12%

Welcher Weg/welches Ergebnis ist nun richtig und warum? verwirrt

12.06.2004, 21:30

Steve_FL

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ich hätts auch so gemacht wie du.

Schliesslich ist die Wahrscheinlichkeit für 1 Zahl über 5 P(A1)= 4/9
und das 3 mal...also 4/9 * 4/9 * 4/9 = (4/9)³

mfg

13.06.2004, 09:02

Atlantis

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RE: gk-12 stochastik aufgabe

Zitat:

Original von Eva

Aufgabenstellung:
Aus der Menge {1,2,...,9} werden drei Ziffern ausgewählt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle Ziffern größer als 5, wenn jede Ziffer mehrmals ausgewählt werden darf?

Mein Lösungsweg:

Mächtigkeit von Omega =9³; Mächtigkeit von A =4³; P(A)=8,78%;

>Hallo Eva,

>das Problem bei dieser Aufgabe ist meiner Meinung nach die Frage: "Wir >die Reihenfolge beachtet, oder nicht?" Die Lösung von Dir mit

$\begin{align*} \|\Omega\| = n^k \end{align*}$

>betrachtet k-Tupel (hier k = 3, n = 9), das heisst "mit Beachtung der >Reihenfolge".

Zitat:

Original von Eva

der Lösungsweg meines Lehrers:

$\begin{align*} \|\Omega\| = $\array{9+3-1\\3}$ \end{align*}$
$\begin{align*} \|A\| = $\array{4+3-1\\3}$ \end{align*}$

P(A)=12%

> die Idee des Lehrers war wohl davon auszugehen, dass die Reihenfolge nicht beachtet wird (also "Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge"). Das klingt mir plausibel, weil in der Aufgabenstellung nichts davon ausgesagt wird wo die Zahlen > 5 stehen sollen.
> Wird die Reihenfolge nicht beachtet, dann handelt es sich um k-Kombinationen. Von denen gibt es eben soviele wie in der Lösung des Lehrers angegeben (allgemeine Formel wäre)

$\begin{align*} \|\Omega\| = $\array{n+k-1\\k}$ \end{align*}$
$\begin{align*} \|A\| = $\array{m+k-1\\k}$ \end{align*}$

> wobei hier m = 4 (6, 7, 8 und 9) ist, da nur soviele Zahlen die Bedingung > 5 erfüllen.

Vielleicht hilft Dir das weiter Augenzwinkern

P.S.: Das Urnenmodell "Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge (k-Kombinationen)" ist recht gewöhnungsbedürftig. Am besten man schreibt sich mal bei n = 5 und k = 2 (etc.) die möglichen Kombinationen auf ...

13.06.2004, 11:02

Thomas

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Hi Atlantis,

die Reihenfolge ist bei dieser Aufgabe sicher irrelevant. Ob alle Zahlen die man zieht größer als 5 sind, hat ja nichts mit der Reihenfolge zu tun.

In diesem Punkt hast du sicherlich recht - nur warum ist das hier ein Unterschied? Ich hätte es gemacht wie Eva und Steve - wenn man mal rein logisch rangeht, wie Steve schon gesagt hat:

Man hat eine Chance von 4/9 bei einem Auswählen eine Zahl größer 5 zu "erwischen". Bei zweimaligem Auswählen dann eben (4/9)² und bei dreimaligem Auswählen (4/9)³ - ich kann hier keinen Denkfehler erkennen!? verwirrt

Gruß,
Thomas

13.06.2004, 11:08

m00xi

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ich stelle immer einen Quotienten auf, der Nenner ist die gesamtzahl der Möglichkeiten, der Zähler die, die wir betrachten wollen. Das hat dein Lehrer auch gemacht. Durch Nichtbeachtung der Reihenfolge der Zahlen muss man auf Ziehen mit Zurücklegen ungeordnet zurückgreifen. Jetzt brauchst du nur noch die chanc,e dass alle 3 Zahlen größer als 5 sind. 6,7,8,9 sind 4 Zahlen. Du hast also nach dem gleichen Prinzip (4+3-1) über (3) möglichkeiten dafür. Der Quotient bildet die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

13.06.2004, 11:47

Thomas

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Hi m00xi,

ich verstehe auch die Herangehensweise des Lehrers - allerdings weiß ich nicht, warum die einfache Lösung (4/9)³ falsch sein soll?

Gruß,
Thomas

13.06.2004, 11:59

m00xi

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Du berücksichtigst die Reihenfolge, der Lehrer tut dies nicht.

13.06.2004, 12:01

Thomas

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Zitat:

Original von m00xi
Du berücksichtigst die Reihenfolge, der Lehrer tut dies nicht.

Das ist mir vollkommen klar, wie oben auch zu lesen ist (hab ich mich zu undeutlich ausgedrückt geschockt

?).

Wo ist denn bei beiden Verfahren der Unterschied? Warum kann man nicht einfach die Reihenfolge beachten, das ist doch irrelevant dafür, ob die Zahlen alle größer als 5 sind.

Gruß,
Thomas

13.06.2004, 12:08

m00xi

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Es ist ein Unterschied, ob du 3 würfel nacheinander würfelst oder alle 3 in einer Box. Und für beide gibt es unterschiedliche Ausgangsmöglichkeiten. Irgendwie reden wir aneinander vorbei.

13.06.2004, 12:40

Thomas

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Zitat:

Original von m00xi
Es ist ein Unterschied, ob du 3 würfel nacheinander würfelst oder alle 3 in einer Box. Und für beide gibt es unterschiedliche Ausgangsmöglichkeiten. Irgendwie reden wir aneinander vorbei.

Sicherlich ist das ein Unterschied, aber lies doch mal meine Beiträge genauer.
Es ist doch KEIN Unterschied, ob die Zahlen größer als 5 ist, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt oder nicht.

Beispiel:

687 -> alle Zahlen größer als 5
678 -> alle Zahlen größer als 5

Wenn man stattdessen die Reihenfolge keine Rolle spielen lässt:

678 -> alle Zahlen größer als 5

Gruß,
Thomas

13.06.2004, 15:40

Thomas

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Hi,

sorry für Doppelpost, aber hier noch ein kleines PHP-Programm, welches Evas (und Steves und meine Lösung) bestätigt:

Ausgabe:

Zitat:

Wahrscheinlichkeit: 0.087761
Unsere Lösung: 0.087791495198903

Quelltext:

php:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:

<?php
$anzahl_auswahl = 100000;
@mt_srand(microtime());

for($i = 0; $i < $anzahl_auswahl; $i ++)
{
    $zahl1 = mt_rand(1,9);
    $zahl2 = mt_rand(1,9);
    $zahl3 = mt_rand(1,9);
    if($zahl1 > 5 && $zahl2 > 5 && $zahl3 > 5)
    {
        $groesser5 ++;
    }
}

echo "Wahrscheinlichkeit: ",round($groesser5 / $anzahl_auswahl,9);
echo "<br />";
echo "Evas Lösung: ",(4 / 9)*(4 / 9)*(4 / 9);
?>

Gruß,
Thomas

14.06.2004, 16:04

morbo

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das problem des lehrers ist die tatsache, dass in seinem modell die einzelnen moeglichkeiten nicht gleich wahrscheinlich sind ... so ist es zum beispiel weniger wahrscheinlich eine 666 zu ziehen als eine 678 (da diese in dem modell auch als 687, 768, 786, 867 und 876 geschrieben und gezogen werden kann)
um aber die wahrscheinlichkeit nach laplace zu berechnen (quotient aus "guten" moeglichkeiten und gesamtmöglichkeiten) braucht man die tatsache, dass all diese möglichkeiten die gleiche wahrscheinlichkeit haben ...

mfg

morbo

14.06.2004, 20:54

Eva

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also dankeschön für eure hilfe,

mein Mathelehrer besteht jedoch auf seine Lösung.
Ich konnte ihn nicht überzeugen.
Aber ich glaube, dass ich ihn mit Morbos Überlegung doch noch überzeugen kann. Tanzen