Vertauschung der Integrationsreihenfolge

27.02.2010, 21:18	000000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vertauschung der Integrationsreihenfolge Folgender Beweis zum Faltungssatz der Laplace-Trafo: $\begin{eqnarray} <br /> &= ...<br /> &= \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{\tau}^{\infty} g(t-\tau)\ u(\tau)\ e^{-st} \ dt \right] d\tau \\ &Reihenfolge\ der\ Integration\ vertauschen\\ &= \int_{0}^{\infty} \left[ \int_{0}^{t} g(t-\tau)\ u(\tau)\ e^{-st} \ d\tau \right] dt \\<br /> &= ...<br /> \end{eqnarray}$ Warum zB geht die innere Grenze nun von 0 bis t? Ich verstehe einfach nicht nach welchem Muster die Integrationsreihenfolge vertauscht werden und anschließend die Grenzen angepasst werden.
27.02.2010, 22:27	wogir	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst es dir ja graphisch klarmachen. Formal könnte man auch über die Heaviside-Funktion argumentieren. Grüße
28.02.2010, 22:45	000000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte bereits versucht es mir grafisch plausibel zu machen, bin aber nicht zum gewünschten Ergebnis gelangt. Dabei hatte ich mir zB eine Gerade $\begin{eqnarray} t = \tau \end{eqnarray}$ eingezeichnet.. Kannst du mir deine Vorgehensweise näher erläutern?
28.02.2010, 23:10	wogir	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gerade is ja schonmal ned schlecht. $\begin{eqnarray} \int_0^\infty d\tau \int_\tau^\infty dt \end{eqnarray}$ : Wenn du nach rechts $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ und nach oben $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ aufträgst dann ist Integrationsbereich die Menge, die über der Geraden (und im 1. Quadranten liegt). Falls du zuerst über $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ integrieren willst, dann dreh einfach die Zeichnung, so dass $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ horizontal liegt.

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