Kontrolle: Ableitungen

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27.02.2010, 21:50	smuf	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontrolle: Ableitungen Guten Tag. Ich scheine nach mehrjährigem rumdümpeln endlich meinen inneren Schweinehund besiegt zu haben, um den Allerwertesten für die Uni hoch zu kriegen. Heute saß ich den halben Tag an Mathe-Aufgaben und die letzte Stunde hat mir eigentlich sogar Spaß gemacht Lange Rede, kurzer Sinn: Hier sind meine heutigen Ableitungsübungen, zu denen mir leider Lösungen fehlen. Da ich nichts falsches lernen will, wäre es sehr nett, wenn hier jemand die Lösungen kontrollieren könnte. Falls, - und ich wäre überrascht, wenn es nicht der Fall wäre - Fehler enthalten sind: Ich will eure wertvolle Zeit nicht mit Formeltippen verschwendet sehen; Lösungsvorschläge also ruhig substituiert mit einfachem Ableitungsstrich angeben. Von 17 Aufgaben konnte ich 2 1/2 nicht bearbeiten. 01) $\begin{eqnarray} x^6 -> 6x^5 \end{eqnarray}$ 02) $\begin{eqnarray} 4x^3 -> 12x^2 \end{eqnarray}$ 03) $\begin{eqnarray} 2x^3 + 4x^2 + 1/3 x + 3 -> 6x^2 +8x + 1/3 \end{eqnarray}$ 04) $\begin{eqnarray} cos(3x^2) -> -sin(3x^2) 6x \end{eqnarray}$ 05) $\begin{eqnarray} cos(x^4) -> -sin(x^4) * 4x^3 \end{eqnarray}$ 06) $\begin{eqnarray} tan(x^2 +3x) -> 1/(cos^2 * (2x+3)) \end{eqnarray}$ 07) $\begin{eqnarray} e^(sin(x)) -> e^(sin(x)) * cos(x) \end{eqnarray}$ 08) $\begin{eqnarray} 4cos(e^(3x^2 +4)) -> \end{eqnarray}$ keine Ahnung wo ich anfangen soll. 09) $\begin{eqnarray} (cos(x))/(x^2) -> (-sin(x) x^2 - cos(x) 2x) / x^4 \end{eqnarray}$ 10) $\begin{eqnarray} e^2x / wurzelx^3 - > (e^2x 2 * (wurzelx^3) - e^2x * (1/2 3^2/(wurzelx^3)) / ((wurzelx^3)^2) \end{eqnarray}$ 11)e^x * e^x^2 - > e^x * e^x^2 + e^x 2x -> e^x (e^x^2 + 2x) 12) $\begin{eqnarray} (tan(x^2) e^x)/(x^2) -> \end{eqnarray}$ Ebenfalls keine Ahnung 13) $\begin{eqnarray} (arctan(x^3))/(x^2) -> (1/(1+x^6) * x^-2 - arctan(x^3) * (-2x))/(x^-4) \end{eqnarray}$ 14) $\begin{eqnarray} (e^3x * (3x^4))/(x^5) -> (e^3x * 3 * 12x * x^5 - e^3x * 3x^4 * 5x4)/(x^10) -> (e^3x * 36x^6 - e^3x * 15x^8)/(x^10) \end{eqnarray}$ 15) $\begin{eqnarray} (tan(3x - x +4) * 3x^4 -> (1)/(cos^2 * (3x - x +4)) * 12x^3 \end{eqnarray}$ 16) $\begin{eqnarray} ((2x^4 + 3x + 4x) * x)/(x^2) -> ((8x^3 + 7) * x^2 - (2x^4 + 7x) * x * 2x)/(x^4) -> (8x^5 + 7x^2 - 4x^6 + 14x^3)/(x^4) \end{eqnarray}$ 17)(x^2 - a^2)/(x-a) sin(3)^e^x -> ((2x - 2a) * (x-a) - (x^2 - a^2) * 1)/((x-a)^2) * ? Zu 17) Den ersten Teil der Aufgabe mal Q genannt; wie geht es dann weiter nach Q * sin(3)^e^x -> Q' * cos(3)^e^x ? Ich hoffe die Formeln sind alle richtig formatiert, in der Vorschau bekomme ich nämlich nichts angezeigt. mfg Smuf Edit: 11 und 17 ohne Formatierung, wegen eines Superscriptfehlers. Edit2: In den Zeilen 7, 10 und 14 klppte was mit der hoch-Formatierung nicht.
27.02.2010, 21:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kontrolle: Ableitungen 6) ist falsch. Bei 5) wars noch richtig. 8) überleg dir welche Funktionen innen und welche außen ist => Kettenregel. 10) sieht mir suspekt aus. vorallem weil klammern fehlen wie ich annehme. 12) Erst die Quotientenregel und dabei wirst du noch zusätzlich die Produktregel brauchen. 13) Innere Ableitung fehlt. 14) Stört dich etwas zu kürzen (wieder Frage nach Klammern) 15) Innere Ableitung! 16) Kann sein dass du das x nicht reinmultiplizert hast (hätte man auch kürzen können) Edit: Wird in Schulmathematik verschoben.
27.02.2010, 22:25	smuf	Auf diesen Beitrag antworten »
6) $\begin{eqnarray} \tan(x^2 + 3) \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{1}{cos^2} (x^2 + 3x) * (2x + 3) \end{eqnarray}$ 8) $\begin{eqnarray} 4 * cos(e^{3x^2 +4x}) \end{eqnarray}$ -> Die innere Funktion ist doch der Teil über dem e, bei der äußeren weiß ich nicht, ob ich die 4 mit ableiten soll (0). $\begin{eqnarray} -sin(e^{3x^2 + 4x} ) * 6x + 4 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 24x * (-sin(e^{3x^2 + 4x} )) * 6x + 4 \end{eqnarray*}$
27.02.2010, 22:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim ersten muss (x^2+3x) das Argument des Cosinus sein - sonst steht da mathematischer Unfug. Und bei 8) ganz langsam: Die Ableitung von $\begin{eqnarray} 4 \cos(e^{3x^2+4x}) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 4 \cdot (-\sin(e^{3x^2+4x})) \cdot [e^{3x^2+4x}]' \end{eqnarray}$ . Das sagt dir die Kettenregel, und nun musst du noch die e-Funktion ableiten - und dafür brauchst du wieder die Kettenregel.
27.02.2010, 22:45	smuf	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Argument also einfach noch mit unter den Bruchstrich, oder? $\begin{eqnarray} \frac{1}{cos^2(x^2+3x)} (2x + 3) \end{eqnarray}$ Die e-Funktion abgeleitet, ist doch die e-Funktion selbst multipliziert mit abgeleitetem oberem Teil. $\begin{eqnarray} 4(-sin(e^{3x^2 + 4x})) (e^{3x^2 + 4x}) * 6x + 4 \end{eqnarray*}$
27.02.2010, 22:54	smuf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist die 10 nochmal sauber. $\begin{eqnarray} <br /> \frac{e^{2x} }{\sqrt{x^3}} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{e^{2x} 2 * \sqrt{x^3} - e^{2x} * ( \frac{1}{2}* \frac{3x^{2} }{\sqrt{x^3} }) }{(\sqrt{x^3})^2 } \end{eqnarray*}$ Für heute werde ich Schluss machen. Vielen Dank für die Hilfe und Anregungen IfindU. Bis morgen.
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27.02.2010, 23:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus, auch wenn man das natürlich noch vereinfachen kann (Wurzel und Quadrat heben sich z.b. auf, den Zähler durch ausklammern und gemeinsamen Bruchstrich vereinfachen).
28.02.2010, 21:39	smuf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Habe leider absolut keine Idee, wie ich die 1/cos^2(x^2) mit dem Rest auf einen Bruchstrich bringen soll. Habe die Angemerkten Ableitungen noch einmal bearbeitet und wollte diese nach abschliessender Kontrolle einheften. 1 bis 5 waren ja richtig. 06) $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ siehe oben 07) $\begin{eqnarray} e^{sin(x)} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} e^{sin(x)} cos(x) \end{eqnarray}$ 08) $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ gestrige Antwort absegnen. 09) $\begin{eqnarray} \frac{cos(x)}{x^2} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{-sin(x)* x^2 - cos(x) * 2x}{x^4} \end{eqnarray}$ 10) $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$ siehe oben. Habe Quadrat und Wurzel unterm Strich gekillt. 11) $\begin{eqnarray} e^{x} * e^{x^2} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} e^{x} * e^{x^2} + e^{x} * e^{x^2} * 2x \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} e^{x}(e^{x^2} + 2x) \end{eqnarray}$ 12) $\begin{eqnarray} \frac{tan(x^{2}) * e^{x} }{x^5} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{cos^2(x^2)} * 2x * x^5 - tan(x^2) * e^x 5x4 }{x^{10} } \end{eqnarray}$ Bin mir ziemlich sicher, das 12) falsch ist, ich weiß nur nicht, wann ich auf die Produktregel wechseln muss. 13) $\begin{eqnarray} \frac{arctan(x^3)}{x^{-2} } \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{ \frac{1}{1+x^6} 3x^2 * x^{-2} - arctan(x^3) * (-2x)}{x^{-4} } \end{eqnarray}$ 14) $\begin{eqnarray} \frac{e^{3x} * (3x^4) }{x^5} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{ (e^{3x} 3) (12x^3) * x^5 - e^{3x} * (3x^4) * 5x^4 }{x^{10} } \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{e^{3x} 16x^8 }{ x^{10} } \end{eqnarray}$ 15) $\begin{eqnarray} tan(3x-x+4x)3x^4 \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{1}{cos^2(3x-x+4)} 23x^4 + tan(3x-x+4)12x^2 \end{eqnarray}$ -> 23x^4 kann ich ja noch zusammenfassen, hapert dann aber wieder am Bruch. 16) $\begin{eqnarray} \frac{(2x^4+3x+4x)x}{x^2} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{(8x^3+7)x^2 - (2x^4+7x)x2x}{x^4} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{(8x^5+7x^2)-(4x^6+14x^3)}{x^4} \end{eqnarray}$ Könnte ich hier auch alternativ erstmal den oberen Teil ausrechnen, also die Klammer mal x und dann ableiten? 17) $\begin{eqnarray} \frac{(x^2-a^2)}{(x-a)} sin(3)^{e^x} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{(2x-2a)(x-a)-(x^2-a^2)}{(x-a)^2} cos(3)^{e^x} e^x \end{eqnarray*}$ Hoffe die letzte stimmt so. a abgeleitet ist doch 0 oder, und x ist 1. Unter diesen Voraussetzungen komme ich auf den Bruchstrichteil. Der hintere Teil ist meiner Ansicht nach die Äußere (sin) mal die Innere (Exponent) mfg Smuf
28.02.2010, 22:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
6-10 sollten stimmen. Bevor ich weitermache der Hinweis: Es hindert dich nichts daran die Terme erst zu vereinfachen/umzuformen bevor du sie ableitest. Denn bei 11 fängt an, dass: $\begin{eqnarray} e^x \cdot e^{x^2} = e^{x +x^2} \end{eqnarray}$ ist und somit eine einfache Kettenregel die Sache regelt und keine Produktregel notwendig ist. Du hast dort falsch ausgeklammert, nachdem du richtig abgeleitest hast. Zu 12 den Tipp: Schreib dir die Sachen nach den allgemeinen Regeln auf, wie ich es da gemacht: Kontrolle: Ableitungen Du schreibst auf was wohin gehört, was abgeleitet wird. Du wirst also die Quotientenregel aufschreiben, allgemein mit den Sachen eingesetzt und dann leitest du ab. Es ist schwer sowas zu beschreiben deswegen hier das eine mal für die Aufgabe: $\begin{eqnarray} \frac{(\tan(x^2)\cdot e^x)' \cdot x^5 - \tan(x^2) \cdot e^x \cdot (x^5)'}{(x^5)^2} \end{eqnarray}$ Nun musst du noch 2 Sachen ableiten, die tane^x Sache und x^5. Für das eine brauchst du die Ketten und Produktregel und das andere nur die Potenzregel. Wenn du dir das so aufschachtelst wirst du immer sehen was du wo brauchst. Zu 13: x^(-2) abgeleitet ist nicht -2x. Auch hier würde sich anbieten es erstmal umzuschreiben und dann abzuleiten. Hier gebe ich nichts vor, aber sieh dir an wie negative Potenzen definiert sind. Zu 14: Siehe Hinweis zur Aufgabe 11 und 12. Zu 15: Da hast du 3x zu 2 abgeleitet (Kettenregel) und x^4 zu 4x^2. Zu 16: Hinweis 11. Denke ist falsch weil du noch ein x im Nenner hast. Zu 17: Hinweis 11 (3. Binomische Formel). Neben umständlichkeit gibt es hier einen großen, großen Patzer, nämlich beim Ableiten von $\begin{eqnarray} \sin(3)^{e^x} \end{eqnarray}$ . x im Exponenten erfordert die Umformung zur Exponentialfunktion [Tipp: $\begin{eqnarray} \sin(3) = e^{\ln{\sin(3)}} \end{eqnarray}$

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