Bestimmen ganzrationaler Funktionsterme - gegebene Parameter

28.02.2010, 12:14

Saturas077

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Bestimmen ganzrationaler Funktionsterme - gegebene Parameter

Guten Tag,

Das bestimmen eines Funktionsterm macht mir echte Probleme derzeit!

Die Aufgabe lautet:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die x-Achse bei -2 und 3 und hat den Hochpunkt H(0/7,2)

Grundfunktion : ax³+bx²+cx+d
erste Ableitung: 3ax²+2bx+c

Die Informationen aus dem Text:
f(-2) = 0
f(3) = 0
f`(0)= 7,2

Bei dem Höhepunkt weis man sofort:

f´(0) = 7,2 = 3a*0²+2b*0+c => c = 7,2

Aber was dann? Ich habe nur 3 Informationen und bei den beides f(-2) und f(3) kommt nichts direkt raus.

f(-2) = 0 = -2a³-2b²-2+d = -8a-4b-2c+d |c einsetzten = -8a-4b-2*7,2+d
f(3) = 0 = 3a³+3b²+3+d = 27a+9b+3c+d | c einsetzten = 27a+9b+3*7,2+d

Wie gehe ich jetzt weiter vor?

Davon habe ich 25 Aufgaben und ich kann keine lösen traurig

traurig

Ich denke, ich stehe nur auf dem Schlauch und brauche einen Tipp
Hoffe einer kann mir den richtigen Anstoß mal geben

Gruß Chris

28.02.2010, 12:24

Elvis

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Zwei Nullstellen hast du schon, es fehlt nur noch die dritte, wir nennen sie $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} f(x)=k*(x+2)*(x-3)*(x-x_0) \end{eqnarray*}$

28.02.2010, 12:43

Saturas077

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Die Formel sagt mir nichts verwirrt

verwirrt

Woher hast du diese?
Was stellt k da?

Selbst wenn ich die 3. Nullstelle nun hätte, stellen sich mir wieder 2 Fragen
Wofür brauche ich sie?
Was danach?

28.02.2010, 13:07

Elvis

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k ist ein Koeffizient. Die Formel ensteht so wie beim "Satz von Vieta" und ist für alle ganzrationalen Funktionen (=Polynomfunktionen) gültig. Für Polynome 2. Grades lautet der Satz von Vieta: $\begin{eqnarray*} f(x)=k(x-x_1)(x-x_2)=kx^2-k(x_1+x_2)x+kx_1x_2 \end{eqnarray*}$ , für normierte Polynome (d.h. k=1) $\begin{eqnarray*} x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p=-(x_1+x_2) \end{eqnarray*}$ das Negative der Summe der Nullstellen und $\begin{eqnarray*} q=x_1x_2 \end{eqnarray*}$ das Produkt der Nullstellen.

Wenn du "meine" Produktformel benutzt, hast du eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Wenn du sie ausmultiplizierst sieht sie "deiner" Gleichung f(x)=ax^3+... ähnlich. Mit der zusätzlichen Information über die erste Ableitung hast du dann zwei Gleichungen für zwei Unbekannte, das sollte genügen, um das Problem zu lösen.

28.02.2010, 13:16

Elvis

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Du hast die Gleichungen für die Nullstellen falsch angesetzt, die Nullstellen müssen für x eingesetzt werden, also
0=f(3)=a*3^3+b*3^2+c*3+d , 0=f(-2)=a*(-2)^3+b*(-2)^2+c*(-2)+d

28.02.2010, 14:12

Saturas077

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Elvis,ich kann deiner Ausführung in keiner Weise folgen.

Da steht immer noch :
-2a³-2b²-2+d,
3a³+3b²+3+d

Da sind 3 unbekannt...
pq-formel ist nicht anwendbar... $\begin{eqnarray*} ax²+b/3x+c/3 \end{eqnarray*}$

Ich bin nach 3 Stunden echt am verzweifeln... noch keine Aufgabe gelöst...

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28.02.2010, 15:10

Elvis

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Zitat:

Original von Saturas077
Da steht immer noch :
-2a³-2b²-2+d,
3a³+3b²+3+d

Das ist immer noch falsch . Richtig ist
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=a(x+2)(x-3)(x-x_0) \end{eqnarray*}$
Aus der Produktdarstellung erhalten wir $\begin{eqnarray*} 6ax_0=d \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} c=7,2 \end{eqnarray*}$ hast du schon richtig ausgerechnet.
Aus dem Produkt folgt weiter $\begin{eqnarray*} a(x_0-6)=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -a(x_0+1)=b \end{eqnarray*}$

Tipp: Versuch's mal mit der Annahme a=1. (Mir scheint, es gibt zu wenig Gleichungen und zu viele Variable, also haben wir freie Wahl beim Leitkoeffizienten a).

28.02.2010, 15:17

Elvis

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Nein, das stimmt auch nicht. ich habe mir noch mal die Aufgabe durchgelesen, da steht Hochpunkt H=(0/7,2). Das heißt nicht, dass die erste Ableitung an der Stelle 0 gleich 7,2 ist , also f'(0)=7,2 , sondern f'(0)=0 und f(0)=7,2 .
Das sind 2 Informationen auf einmal, und damit sollte die Aufgabe am Ende doch eindeutig lösbar sein.

Ja, ich hab's, jetzt ist alles ganz einfach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.02.2010, 15:38

Vinyl

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$\begin{eqnarray*} f(-2)=0 \Rightarrow -8a+4b-2c+d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3)=0 \Rightarrow 27a+9b+3c+d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=7,2 \Rightarrow 0a+0b+0c+d=7,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \Rightarrow 0a+0b+c=0 \end{eqnarray*}$

Das sind 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Wobei 2 von diesen Abzulesen sind.
Nun musst du nurnoch das Additionsverfahren anwenden, sofern du das kennst, und bekommst schnell die anderen beiden Parameter a und b.

Hoffe ich konnte helfen.

Vinyl

28.02.2010, 15:47

Saturas077

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Zitat:

Original von Vinyl
$\begin{eqnarray*} f(-2)=0 \Rightarrow -8a+4b-2c+d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3)=0 \Rightarrow 9a+6b+3c+d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=7,2 \Rightarrow 0a+0b+0c+d=7,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \Rightarrow 0a+0b+c=0 \end{eqnarray*}$

Das sind 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Wobei 2 von diesen Abzulesen sind.
Nun musst du nurnoch das Additionsverfahren anwenden, sofern du das kennst, und bekommst schnell die anderen beiden Parameter a und b.

Hoffe ich konnte helfen.

Vinyl

Danke,
Sachen dazu:
Die Werte sind nicht richtig : a*3³ sind doch 27a oder nicht?

Wieso ist Der hochpunkt in der Allgemeinen einzusetzten und nicht in der ersten ableitung?

28.02.2010, 15:48

Saturas077

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Und woher hast du die Steigung in der letzten?

28.02.2010, 16:02

Vinyl

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Oh ja, tut mir leid! (ich habe es verbessert)

Du weist doch sicher, dass bei einem Hochpunkt die Steigung =0 ist. Somit muss f'(x) an dieser stelle =0 sein.
-> f'(0)=0

Den Hochpunkt musst du in der Ursprungsfunktion einsetzten, da ja im Punkt P (0|7,2) ein Extrempunkt sein soll. Somit wissen wir, dass P(0|7,2) auf dem Graphen von f(x) liegen muss. Nicht aber auf dem von f'(x)
-> f(0)=7,2

Ist das verständlich?

28.02.2010, 16:24

Saturas077

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Ich danke dir =)

Die Ergebnisse sind :
a = -(31/27)
b = (119/45)
c = 0
d = 7,2

Jetzt macht Mathe wieder Spaß =)

bis zur nächsten Aufgabe =(

28.02.2010, 16:40

Saturas077

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Ich hänge schon iweder an der Informations beschaffung...

Der Graph einer ganzrationalen Funktion fünften Grades ist punksymmetrisch zum Koordinatenursprung hat in T(-1/-2) einen Tiefpunkt und verläuft durch den P(2/-13,25)

Die Allgemeine Formel also ax^5+bx³+cx+d oder?

Die Informationen sind :
f´(0/0) da sie Symterisch durch den Ursprung ist oder?
T(-1/-2)
f´(-1/0)
und
P(2/-13,25)

Ich hoffe, ihr könnt mich korrigieren!

28.02.2010, 16:44

Vinyl

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Zitat:

Original von Saturas077
Ich danke dir =)

Die Ergebnisse sind :
a = -(31/27)
b = (119/45)
c = 0
d = 7,2

Ich will dir ja nicht die freude nehmen, aber nun hast du mit deinen Werten keine Nullstelle für x=-2, was ja aber eigentlich der Fall sein solle.
Überprüfe doch nochmal deine Rechnungen.
Als Anhaltspunkt: Ich habe a = 0.2

Vinyl

28.02.2010, 17:16

Saturas077

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Bei einer Probe kommt aber 0 raus -.-

Hier meine Rechnung

I 0 = -8a-4b-2c+d =>-8a-4b+7,2 |*9
II 0 = 27a+9b+3c+d =>27a+9b+7,2 |*4

I 0= -72-36+64,8
II 0=108a+36b+28,8

I+II 0=81a+93

-93=81a

-(31/27)=a

Wo ist den da der Fehler?

28.02.2010, 17:55

Elvis

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Vorzeichenfehler in der ersten Gleichung, +4b nicht -4b .

Nach meiner Rechnung ist 0=c=a(x_0-6), also x_0=6 die dritte Nullstelle .
Daraus folgt 7,2=d=6ax_0=36a, also a=0,2 .
Aus b=-a(x_0-1) folgt daraus b=-1,4 .

28.02.2010, 18:02

Vinyl

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Vorsagen hätte ich es ihm auch.
Aber da wir nun soweit sind:

Kannst du das von Elvis nachvollziehen.

P.S. Du hattest noch einen Fehler in deiner Rechnung. $\begin{eqnarray*} -72a+108a \neq 81a \end{eqnarray*}$

28.02.2010, 18:05

Elvis

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Zitat:

Original von Saturas077
Ich hänge schon iweder an der Informations beschaffung...

Der Graph einer ganzrationalen Funktion fünften Grades ist punksymmetrisch zum Koordinatenursprung hat in T(-1/-2) einen Tiefpunkt und verläuft durch den P(2/-13,25)

Die Allgemeine Formel also ax^5+bx³+cx+d oder?

Die Informationen sind :
f´(0/0) da sie Symterisch durch den Ursprung ist oder?
T(-1/-2)
f´(-1/0)
und
P(2/-13,25)

Ich hoffe, ihr könnt mich korrigieren!

Allgemeine ganzrationale Funktion 5. Grades $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f \end{eqnarray*}$
Punktsymmetrisch zu (0/0) heißt $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$
Tiefpunkt T heißt $\begin{eqnarray*} f(-1)=-2,f'(-1)=0 \end{eqnarray*}$
Geht durch P heißt $\begin{eqnarray*} f(2)=-13,25 \end{eqnarray*}$

@Vinyl . Ich habe nichts vorgesagt, ich habe schon vor einigen Stunden alle notwendigen Formeln zur Verfügung gestellt.

28.02.2010, 18:08

Saturas077

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Zitat:

Original von Elvis
Vorzeichenfehler in der ersten Gleichung, +4b nicht -4b .

Nach meiner Rechnung ist 0=c=a(x_0-6), also x_0=6 die dritte Nullstelle .
Daraus folgt 7,2=d=6ax_0=36a, also a=0,2 .
Aus b=-a(x_0-1) folgt daraus b=-1,4 .

Warum + und nicht -?

-2² = -4

-2*-2= 4
-.- Wie soll man sich den da noch auf Taschenrechner verlassen -.-

Ich danke euch!
Mein größtes Problem ist die Informationsbeschaffung ausem Text =(

E: Da steht symmetrische , d. h. doch die graden können gelöscht weren!

28.02.2010, 18:10

Elvis

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$\begin{eqnarray*} +(-2)^2=4 \end{eqnarray*}$

Symmetrisch, also b=d=f=0. Ja.

28.02.2010, 18:11

Vinyl

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Wenn dir dein Taschenrechner für (-2)*(-2) als Ergebnis (-4) ausspuckt, solltest du dir schnellstens einen neuen kaufen! geschockt

geschockt

28.02.2010, 18:15

Iorek

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Was für einen Taschenrechner hast du? Das ist nämlich durchaus "üblich" bei TR das so zu machen; schuld ist meistens die falsche Rangordnung der Rechenoperationen. Beispiel: TI-30X gibt mir auch -2²=-4 aus. Das "-" als Vorzeichensymbol steht zwar auf dem Taschenrechner in einer Klammer, (-), es wird aber wie eins außerhalb der Klammer gewertet. Anstatt (-2)² rechnet der also -(2)², was natürlich -4 ergibt.

28.02.2010, 18:18

Saturas077

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Casio fx-85ES

28.02.2010, 18:30

Iorek

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Auch gut, der hat das selbe Problem.

Wenn du negative Zahlen quadrierst, setz immer eine Klammer um die Zahl: (-x)^2, ansonsten tritt genau das Problem auf.

28.02.2010, 18:42

Saturas077

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Danke dir, werde ich mir merken!

28.02.2010, 19:19

Vinyl

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Kommst du jetzt mit den beiden Aufgaben zurecht?

28.02.2010, 19:54

Saturas077

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Die letzte habe ich grade Probiert zu rechnen...

Die Probe stimmt schonmal nicht...

meine Werte sind:
a = -0.625
b=1/4
c=-13/8

Ich habe die Werte eingesetzt
Tiefpunkt T heißt $\begin{eqnarray*} f(-1)=-2,f'(-1)=0 \end{eqnarray*}$
Geht durch P heißt $\begin{eqnarray*} f(2)=-13,25 \end{eqnarray*}$

Aus den 3 Formel habe ich dann durch das Additionsverfahren probiert an die Werte zu kommen!

28.02.2010, 22:10

Vinyl

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Hast du Vorzeichenwechsel beachtet?

$\begin{eqnarray*} f(0)=0 && \Rightarrow 0a+0b+0c+d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-1)=-2 && \Rightarrow -a-b-c+d=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-1)=0 && \Rightarrow 5a+3b+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2)=-13,25 && \Rightarrow 32a+8b+2c+d=-13,25 \end{eqnarray*}$

Ich überlege auch grade etwas, da ich wohl auch kein exaktes Ergebnis habe. Bei mir sind die Tiefpunkte Sattelpunkt.
Vielleicht kann da jemand anderes helfen, ich muss in diesem Fall doch passen.
Ich weis nicht wie man aus den Sattelpunkten Tiefpunkte bekommt, da ich ja als Bedingung schlecht sagen kann, dass f''(-1)>0 sein soll, was die Voraussetzung für einen Tiefpunkt ist..

Grüße Vinyl

01.03.2010, 10:55

Vinyl

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Der Tiefpunkt für x=-1 und analog dazu der Hochpunkt bei x=1 wegen der Punktsymmetrie sind wie schon gesagt bei mir Sattelpunkte.

Vinyl

01.03.2010, 15:31

Saturas077

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Vinyl, wir werden morgen die Aufgabe im Unterricht besprechen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe noch eine Frage!

Achsensymmetrisch heißt dich f(x) = f(-x)
Wie kann ich mit dieser Information jetzt arbeiten?

01.03.2010, 16:07

Vinyl

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Das ist doch gut.

Nehmen wir mal 2 Beispiele.

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)=sin(-x)=-sin(x) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass die Funktion f(x)=sin(x) Punktsymmetrisch ist, da $\begin{eqnarray*} f(x)=-f(x) \end{eqnarray*}$

Ein anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)=(-x)^{2}=x^{2} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass die Funktion Achsensymmetrisch ist, da $\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$

Wenn du also $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^3+x+2 \end{eqnarray*}$ hast, dann folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} f(-x)=x^3-x+2 \end{eqnarray*}$ ist.

Hilft dir das vielleicht?

Vinyl

01.03.2010, 19:17

Saturas077

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Nicht wirklich!

Ich verstehe nicht, wie ich aus der Information eine 4. Information für den Aufgaben Typ bekommen soll!

Die Aufgabe lautet:

Eine ganzrationalen Funktion vierten Graden verläuft achsensymmetrischzur y-achse hat bei 2 eine Nullstelle. Der Graph von f hat im Punkt P(1/-6) die Steigung -2.

Also:
f(2)=0
f(1)=-6
f´(1)=-2

Da Fehlt eine Information, und das ist doch die Achsensymmetrie...
Nur wie gehe ich damit um?

01.03.2010, 19:22

Elvis

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f(x)=f(-x), hat also auch bei -2 eine Nullstelle und geht durch den Punkt Q=(-1/-6), hat dort die Steigung 2.

01.03.2010, 19:28

Saturas077

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Ja, das ist bekannt, aber was bringt es die Achsensymmetrischen Punkte zu nehmen?
Das führt doch am ende zur zu Fehlern, wenn man damit das Additionsverfahren macht

01.03.2010, 20:20

Vinyl

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Zitat:

Original von Saturas077
Also:
f(2)=0
f(1)=-6
f´(1)=-2

Da Fehlt eine Information, und das ist doch die Achsensymmetrie...
Nur wie gehe ich damit um?

Wieso fehlen denn da Informationen? Ich glaube du hast schon ganz am Anfang dieses Threads geschrieben wie die Grundfunktion einer punktsymmetrischen Funktion aussieht. (Nur ungerade Exponenten)
Analog dazu kannst du nun die Grundfunktion eines Graphen geben, der Achsensymmetrisch sein soll.

Wenn du die hast, schau doch mal, was man daraus machen kann.

Vinyl

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