Phasenportrait zeichnen

28.02.2010, 12:46

Zari

Phasenportrait zeichnen

hallo alle zusammen..
und zwar soll ich für die dgl $\begin{eqnarray*} x'=sin(x) \end{eqnarray*}$ ein phasenportrait zeichnen.
hab die dgl zwar schon gelöst ( lösung ist $\begin{eqnarray*} x(t)=2*arctan(c*e^t)+2*k* \pi \end{eqnarray*}$ ), aber wie ich das phasenportrait zeichnen soll hab ich keine ahnung..

kann mir jmd helfen?

danke im voraus!

28.02.2010, 13:09

wisili

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RE: Phasenportrait zeichnen
Man zeichnet alle Punkte (x, x').

28.02.2010, 13:11

Zari

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ach so einfach oO
naja ich probiers mal danke!

02.03.2010, 11:51

Blubberer

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hier ist das phasenportrait doch einfach der sinus selber oder nicht??

02.03.2010, 14:05

Blubberer

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stimmt das was ich geschrieben hab?
also man zeichnet den sinus und die ruhelagen sind dann gerade die konstanten lösungen oder nicht? also in dem fall $\begin{eqnarray*} k*\pi \end{eqnarray*}$ .. und die lösungen konvergieren dann gegen die ruhelagen...
stimmt das so?

02.03.2010, 14:18

WebFritzi

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RE: Phasenportrait zeichnen

Zitat:

Original von wisili
Man zeichnet alle Punkte (x, x').

Das stimmt nicht. Man zeichnet durch so viele Punkte (t,x) wie möglich ein kleines Geradensegment mit der Steigung sin(x).

02.03.2010, 14:31

TamZaria

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hab mich jetzt hier im forum mal angemeldet Augenzwinkern

danke für die korrektur WebFritzi..

hab mir eben schon gedacht, dass es nicht so einfach geht.. denn dann es wäre gerade das schaubild der ableitung..
wie gehe ich nun bei der zeichnung des phasenportraits vor?

ich habe es auch mit den ruhelagen probiert.. allerdings anders als blubberer..
ich habe ein (t,x(t)) diagramm mit den konstanten lösungen(=ruhelagen von x') $\begin{eqnarray*} k*\pi \end{eqnarray*}$ als waagrechte linien und die lösungen konvergieren gegen diese linien.. und zwar konvergieren alle lösungen zwischen $\begin{eqnarray*} (0,2\pi) \end{eqnarray*}$ gegen die waagrechte linie $\begin{eqnarray*} 1*\pi \end{eqnarray*}$ ; zwischen $\begin{eqnarray*} (2\pi,4\pi) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 3\pi \end{eqnarray*}$ usw..

sieht so das phasenportrait aus?

gruß zari

02.03.2010, 15:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von TamZaria
sieht so das phasenportrait aus?

Keine Ahnung. Deine Beschriebung lässt zu wünschen übrig.

02.03.2010, 16:02

TamZaria

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dann versuch ich es nochmal zu erklären Augenzwinkern

also:
x - achse ist beschriftet mit der variable t
y - achse ist beschriftet mit der gesuchten funktion x(t)

dann nehm ich die konstanten lösungen(ruhelagen) der dgl $\begin{eqnarray*} x'=sin(x) \end{eqnarray*}$ und zeichne diese ein.
in diesem fall sind die konstanten lösungen gerade $\begin{eqnarray*} k*\pi \end{eqnarray*}$ für k aus Z.
d.h. die konstanten lösungen sind waagrechte linien bei $\begin{eqnarray*} \pi, 2\pi, 3\pi, etc. \end{eqnarray*}$

alle anderen lösungen konvergieren gegen diese ruhelagen.
im intervall $\begin{eqnarray*} (0,\pi) \end{eqnarray*}$ ist der sinus positiv und somit konvergieren die lösungen in diesem intervall gegen $\begin{eqnarray*} x(t)=\pi \end{eqnarray*}$

im intervall $\begin{eqnarray*} (\pi,2\pi) \end{eqnarray*}$ ist der sinus negativ und somit konvergieren die lösungen in diesem intervall ebenfalls gegen $\begin{eqnarray*} x(t)=\pi \end{eqnarray*}$

im intervall $\begin{eqnarray*} (2\pi,3\pi) \end{eqnarray*}$ ist der sinus wieder positiv und somit konvergieren die lösungen in diesem intervall gegen $\begin{eqnarray*} x(t)=3\pi \end{eqnarray*}$

im intervall $\begin{eqnarray*} (3\pi,4\pi) \end{eqnarray*}$ ist der sinus wieder negativ und somit konvergieren die lösungen in diesem intervall gegen $\begin{eqnarray*} x(t)=3\pi \end{eqnarray*}$

usw..

wüsste jetzt nicht, wie ich es noch genauer beschreiben könnte :/
hoffe, dass es einigermaßen verständlich ist

gruß

02.03.2010, 16:41

WebFritzi

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In einem Phasenporträt konvergiert nichts! Demnach kann man mit dem Wort "Konvergenz" kein Phasenportrait beschreiben.

02.03.2010, 22:46

wisili

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Wikipedia lässt Einiges offen bezüglich der Frage, welche Komponenten ein Phasenportrait ergeben.
Wolfram nennt ein Beispiel, wo das Orts-Geschwindigkeits-Paar die gezeichneten Richtungen liefert (wie es die Physiker bevorzugen).
WebFritzi nennt das Zeit-Orts-Paar, das die Richtungen liefern soll; ich nenne das «Richtungsfeld», aber offenbar kursieren verschiedene Begriffe für nicht immer genau Dasselbe.

Im letzteren Sinne wäre das Phasenportrait der Versuch, mit einer Auswahl der t-x-Lösungskurven (oder in Abständen mit deren richtungweisenden Tangenten«strecken») einen Eindruck der ganzen Lösungsschar zu vermitteln.

[attach]13731[/attach]

03.03.2010, 08:00

WebFritzi

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Danke für die Aufklärung, wisili. smile

03.03.2010, 09:16

TamZaria

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k genau dasselbe phasenportrait habe ich auch raus!
danke viel mals für die aufklärung wisili! Augenzwinkern

08.03.2010, 09:30

Cel

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Vielleicht noch eine Ergänzung, da ich bei der Vorbereitung zu meinem Seminar noch eine Definition gefunden habe.

Laut meinen Quellen bezeichnet man das von WebFritzi beschriebenes Verfahren als Zeichnen des Lösungsportraits bzw. Richtungsfeldes.

Das Phasenportrait hingegen findet man, wenn man zu einer gegebenen Lösung $\begin{eqnarray*} \mu : I \to B \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ die Bildmenge (Trajektorie) $\begin{eqnarray*} \mu(I) \end{eqnarray*}$ betrachtet. Üblicherweise wird dies auch bei Flüssen getan, wo der Anfangszeitpunkt bekanntlich 0 ist. Verschiedene AZP liefern verschiedene Lösungen, die Gesamtheit aller Trajektorien heisst dann Phasenportrait. Das heisst also, bei der skalaren DGL x' = sin(x) ergäben sich verschiedene Intervalle in IR.

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