Basis von Restklassenkörper

28.02.2010, 14:58	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Restklassenkörper hallo zusammen !! Für welche Primzahlen p ist B eine Basis von $\begin{eqnarray} F^{3}_p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ da in der Basis der Repräsentant 3 vorkommt, ist das kleinste p = 5. gilt dann auch, dass für alle Primzahlen p grösser oder gleich 5 B eine Basis von $\begin{eqnarray} F^{3}_p \end{eqnarray}$ ist? vielen lieben Dank für eure Hilfe!! eisley
28.02.2010, 15:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
3 ist auch ein Repräsentant für p=2,3. Die darfst du also nicht einfach ausschließen. Rechne die Determinante der Matrix aus die sich ergibt wenn man die Vektoren als Spaltenvektoren der Matrix sieht.
28.02.2010, 15:13	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe nun die Determinante (det = 7) berechnet. bedeutet das, dass nur der Körper $\begin{eqnarray} F^{3}_7 \end{eqnarray}$ diese Basis hat? ich habe in der Theorie nicht die passenden Hinweise gefunden :/
28.02.2010, 15:15	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Vektoren bilden eine Basis genau dann wenn die Determinante nicht 0 ist.
28.02.2010, 15:19	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
ah voilà. und wenn ich als Beispiel die Basis im Körper $\begin{eqnarray} F^{3}_3 \end{eqnarray}$ "testen" will, dann wird die 3 im dritten Basisvektor durch eine 0 ersetzt. Die Determinante wäre so berechnet = -5, d.h. dass B auch hier Basis ist?
28.02.2010, 16:09	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö, 3 ist genauso ein Repräsentant wie die 0. Da musst du gar nichts ändern. Das Ergebnis ändert sich ja auch nicht( -5 = 7 - 4*3 )
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28.02.2010, 16:13	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, logisch. sorry aber muss dann die Aufgabe eher allgemein gelöst werden, so dass man sagt: Für alle Primzahlen p, für die die Determinante der Matrix aus den Basisvektoren ungleich 0 ist, ist B eine Basis von $\begin{eqnarray} F^{3}_p \end{eqnarray}$ . ich versteh nicht ganz, was ich sonst tun könnte. :/
28.02.2010, 16:14	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja so viele Primzahlen p mit $\begin{eqnarray} 7 \equiv 0 \mod p \end{eqnarray}$ gibt es ja nicht
28.02.2010, 16:25	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
achsooo !! jetzt ist klar! ha.. danke für die Geduld!

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