Polynom beschränkt

28.02.2010, 16:18	Beschränker	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom beschränkt Sorry, ich hätte mal eine wahrscheinlich wirklich dumme Frage: Angenommen, $\begin{eqnarray} P(z) \end{eqnarray}$ ist ein Polynom, welches keine Nullstellen besitzt. Es geht darum zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{P(z)} \end{eqnarray}$ beschränkt ist. Sei $\begin{eqnarray} P(z)=a_0 + a_1z + \dots + a_n z^n \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \frac{P(z)}{z^n} = a_n + \left( \frac{a_{n-1}}{z} + \dots + \frac{a_0}{z^n} \right) \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \|z\| \to \infty \end{eqnarray}$ geht jeder Term in der Klammer rechts gegen 0. Warum gilt dann: Es gibt also ein $\begin{eqnarray} R > 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|P(z)\| \geq c \|z\|^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|z\| > R \end{eqnarray}$ . Ich habe da echt ein Brett vor dem Kopf - das ist mir im Moment absolut nicht klar
28.02.2010, 16:25	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Für c gibt es ein R so dass $\begin{eqnarray} \frac{\|P(z)\|}{\|z\|^n} > c \end{eqnarray}$ da der linke Term gegen $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ geht. c ist also einfach leicht größer als a_n
28.02.2010, 16:35	Beschränker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohhh Gott Jetzt ist das Brett weg. Danke!
28.02.2010, 16:48	Beschränker	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber man muss schon $\begin{eqnarray} c < \|a_n\| \end{eqnarray}$ wählen wenn es für alle $\begin{eqnarray} \|z\| > R \end{eqnarray}$ gelten soll.
28.02.2010, 16:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Einverstanden

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