Funktionsproblem

28.02.2010, 17:05	Vinyl	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsproblem Hallo alle zusammen, ich habe letzten Freitag eine Matheklausur geschrieben in der im Analysis Teil unteranderem folgende Aufgabe gestellt war: Funktion: $\begin{eqnarray} f(t)=e^{-\frac{1}{4} \cdot t} \cdot sin(\pi \cdot t) \end{eqnarray}$ Ich bekomme die Funktion hier leider nicht gezeichnet. Nun zu der Aufgabe: Für die Funktion f gilt: f(t+2) = C * f(t) für t $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 0, wobei C eine Konstante ist. Bestimmen Sie den exakten Wert von C. Mein eigener Ansatz war es, für konkrete Zahlen, so zum Beispiel für f(1) oder f(0), die entstehende Gleichung zu lösen. Allerdings habe ich gemerkt, dass dieses C dann auch nur für diesen t-Wert gilt. Ich wäre sehr dankbar alleine schon für einen kleinen Hinweis, der mir auf die Sprünge helfen würde. Gruß Vinyl
28.02.2010, 17:09	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann berechne doch einmal $\begin{eqnarray} f(t+2) \end{eqnarray}$ und forme es solange um, bis irgendwann die gewünscht Form dasteht.
28.02.2010, 18:31	Vinyl	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{-\frac{1}{4} \cdot (t+2)} \cdot sin(\pi \cdot (t+2))=? \end{eqnarray}$ Aber was steht dann rechts neben dem = ? Sorry, wenn ich grade etwas doof anstelle. Ich sehen hier einfach grade keinen Ansatzpunkt. Vinyl
28.02.2010, 18:45	MLRS	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{-\frac{1}{4} \cdot (t+2)} \cdot sin(\pi \cdot (t+2))= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{-\frac{1}{4} \cdot (t)-\frac 1 2} \cdot sin(\pi \cdot t+2\pi)= \end{eqnarray}$ jetzt genau schauen und $\begin{eqnarray} e^{a+b}=e^a\cdot e^b \end{eqnarray}$ beachten
28.02.2010, 19:18	Vinyl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhhhh $\begin{eqnarray} sin(\pi \cdot t+2\pi)=sin(\pi \cdot t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^{-\frac{1}{4} \cdot (t)-\frac{1}{2}} = e^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{4} \cdot (t)} \end{eqnarray}$ Das würde Sinn ergeben. Dann würde gelten: $\begin{eqnarray} C=e^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Wunderbar. Nur finde ich noch eine Sache fragwürdig. $\begin{eqnarray} e^{a+b}=e^a\cdot e^b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b} \end{eqnarray}$ Dann müsste die Funktion doch $\begin{eqnarray} f(t)= \frac{e^{-\frac{1}{4} \cdot t}}{e^{-\frac{1}{2}}} \cdot sin(\pi \cdot t) \end{eqnarray}$ Oder hat das noch etwas mit dem - vor $\begin{eqnarray} ^{\frac{1}{4}t} \end{eqnarray}$ im Exponenten zu tun?
28.02.2010, 19:23	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Was machst du denn? Deine Funktion ist doch fest, $\begin{eqnarray} f(t)=e^{-\frac{1}{4}t}\sin(\pi t) \end{eqnarray}$ . Nicht mehr oder weniger. Nun ist die Behauptung, dass diese Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die Eigenschaft hat, bei allen beiden $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ aus dem Definitionsbereich, die sich um genau 2 unterscheiden, "fast" den gleichen Wert zu haben, dh sich der Funktionswert lediglich um eine Konstante unterscheidet. Deine Aufgabe war es, diese Konstante $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ zu finden, und das hast du erreicht. Ausserdem, in deinem letzten Term muss es $\begin{eqnarray} \frac{...}{e^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray}$ heissen.
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28.02.2010, 19:25	Vinyl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt. Dann bedanke ich mich mal recht herzlich. Schönen Abend. Vinyl

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