Scheitelpunktform

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01.03.2010, 15:22	Mayu	Auf diesen Beitrag antworten »
Scheitelpunktform Hallo, würde gerne wissen, wie ich folgende Funktion in die Scheitelpunktform umformen kann. G(x)= - 1/20x²+20x-1500 Wäre gut wenn jemand das Schritt für Schritt erklären könnte. Habs selbst auch schon versucht, aber komme ab folgendem Schritt nicht weiter: G(x)= -1/20x²+20x-1500 = -1/20x²+20x+100-100-1500 = ? Danke im Vorraus
01.03.2010, 15:25	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast nicht richtig quadratisch ergänzt. Bevor du die quadratische Ergänzung durchführst, könntest auch noch $\begin{eqnarray} -\frac 1{20} \end{eqnarray}$ ausklammern, dann wird das ganze etwas leichter
01.03.2010, 15:29	Mayu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Ausklammern hört sich sinnvoll an. Aber wie ergänzt man denn quadratisch richtig? x)
01.03.2010, 15:40	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst ja das ganze so Ergänzen, dass du eine binomische Formel anwenden kannst. Klammern wir erstmal aus: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac 1{20} \cdot (x^2-400x+30000) \end{eqnarray}$ . Jetzt müssen wir quadratisch ergänzen um eine bin. Formel anwenden zu können, welche würdest du jetzt anwenden wollen?
01.03.2010, 15:42	Mayu	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde die 2. nehmen. Also: (a-b)² Aber wie kommt man auf 400x und 30000?
01.03.2010, 15:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe $\begin{eqnarray} -\frac 1{20} \end{eqnarray}$ ausgeklammert Würde man die Klammer jetzt wieder ausrechnen, würde genau deine Ausgangsfunktion rauskommen. Wir wollen also die zweite bin. Formel anwenden, ganz genau. Wie lautet diese denn ausgeschrieben?
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01.03.2010, 15:53	Mayu	Auf diesen Beitrag antworten »
aso man multipliziert das dann sozusagen mit dem kehrwert um das auszuklammern... alles klar.. die müsste so lauten: (a-b)² = a²-2ab+b²
01.03.2010, 15:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so lautet sie Machen wir uns mal an die quadratische Ergänzung. Wir wollen das irgendwie so umformen, dass wir diese Formel anwenden können. Wir haben die ausmultiplizierte Form da stehen, $\begin{eqnarray} x^2-400x+30000 \end{eqnarray}$ . Die 30000 interessieren uns erst einmal nicht, aber das x² und die -400 x sind wichtig. Die x² ist unser a² aus der bin. Formel, also haben wir auch direkt unser a. Die -400 entsprechen den -2ab. Und da wir wissen was a ist, können wir unser b bestimmen
01.03.2010, 16:04	Mayu	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann müsste b 20 sein? Also: (x-200)² = x²-20x+400
01.03.2010, 16:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, bei dir stehen jetzt zuerst falsche, dann richtige, dann wieder falsche Sachen... Überarbeite dein Ergebnis nochmal, es geht aber auf jeden Fall in die richtige Richtung, und ich glaube du hast einfach nur einen Tippfehler drin
01.03.2010, 16:26	Mayu	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt.. also (x-20)² = x²-40x+400 ?
01.03.2010, 16:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, das stimmt leider nicht ganz. Wir haben $\begin{eqnarray} a=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -2ab=-400x \end{eqnarray}$ . Wir können den Wert für a einsetzen und bekommen $\begin{eqnarray} -2b=-400 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} b=200 \end{eqnarray}$ . Also bekommen wir am Ende $\begin{eqnarray} (x-200)^2 \end{eqnarray}$ . Damit sind wir aber natürlich noch nicht fertig. Wir hatten ja bisher nur $\begin{eqnarray} x^2-400x \end{eqnarray}$ da stehen, aber wenn wir unsere bin. Formel ausrechnen würden, steht da $\begin{eqnarray} (x-200)^2=x^2-400x+40000 \end{eqnarray}$ . Diese +40000 ist unsere quadratische Ergänzung, denn diese fehlen uns ja, um die bin. Formel anwenden zu können.
01.03.2010, 17:00	Mayu	Auf diesen Beitrag antworten »
also hat man da jetzt das hier stehen oder wie? 1/20(x²-400x+40000)
01.03.2010, 17:04	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast Wir dürfen ja nicht einfach so 40000 addieren, wir würden ja sonst die Gleichung verändern. Aber wir können ja 40000 addieren und direkt wieder subtrahieren. Also: $\begin{eqnarray} -\frac 1{20} (\underbrace{x^2-400x+40000}_{=(x-200)^2}-40000+30000) \end{eqnarray}$
01.03.2010, 17:10	Mayu	Auf diesen Beitrag antworten »
asooo klaaaar.. so mach ich das auch immer.. immer die zahl mit dem x halbieren, quadrieren, addieren, subtrahieren! und dann: $\begin{eqnarray} -1/20(x-200)²-10000 \end{eqnarray}$ oder?
01.03.2010, 17:15	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammern setzen nicht vergessen $\begin{eqnarray} -\frac{1}{20}\left((x-200)^2-10000\right) \end{eqnarray}$
01.03.2010, 17:18	Mayu	Auf diesen Beitrag antworten »
und dann -1/20(x-200)²+500 ?
01.03.2010, 17:24	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt genau
01.03.2010, 18:36	Mayu	Auf diesen Beitrag antworten »
super.. dankeschön

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