Vollständige Induktion (durch 6 teilbar)

01.03.2010, 16:40

unRuhe

Vollständige Induktion (durch 6 teilbar)

Hallo, ich bereite mich gerade auf meine Analysis Klausur vor und unser Prof. bringt in den Prüfungen Vst.Induktions-Aufgaben dran die irgendwie abgefahren sind. Wie folgende durch die ich nicht durchblicke.

$\begin{eqnarray*} 2n^3 + 3n^2 + n = 6k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Ich bin schon soweit schlau draus geworden, dass das Hauptaugenmerk auf $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ liegt
und dass dann heißt, dass ich beweisen soll das der linke Term immer ein Teiler von 6 ist.

So hab ich schonmal den Induktionsanfang richtig bei dem links 6 rauskommt und demnach für k die Eigenschaft zutrifft.

Induktionsschluss
1. $\begin{eqnarray*} 2*(n+1)^3 + 3*(n+1)^2 + n + 1 = 6k \end{eqnarray*}$

2. binomische formel / pascalsches dreieck
$\begin{eqnarray*} 2*(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 3*(n^2 + 2n + 1) + n + 1 = 6k \end{eqnarray*}$

3. Ausmultiplizieren
$\begin{eqnarray*} 2n^3 + 6n^2 + 6n + 2 + 3n^2 + 6n + 3 + n + 1 = 6k \end{eqnarray*}$

4. Zusammenfassen
$\begin{eqnarray*} 2n^3 + 9n^2 + 13n + 6 = 6k \end{eqnarray*}$

5. Ratlos
...

01.03.2010, 16:46

IfindU

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RE: Vollständige Induktion (durch 6 teilbar)
5./6. Induktionsvoraussetzung reinbringen

Außerdem scheint mir die Schreibweise etwas suspekt mit dem "festen" k.

01.03.2010, 17:10

unRuhe

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ahh okay, da bin ich jetzt nen stück weiter

5. Induktionsannahme vom Term abgezogen und als 6k dazugeschrieben
$\begin{eqnarray*} 6k + 6n^2 + 12n + 6 = 6k \end{eqnarray*}$

6. binom erkannt
$\begin{eqnarray*} 6k + 6*(n+1)^2 = 6k \end{eqnarray*}$

kann ich das an dem punkt schon abhaken mit der Begründung dass
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ eh mit 6 multipliziert wird?

irgendwie erscheint mir das genauso suspekt weil nach dem finde ich durch
umstellen dass $\begin{eqnarray*} 6*(n+1)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

01.03.2010, 17:15

IfindU

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$\begin{eqnarray*} 6|2n^3 +3n^2+n \end{eqnarray*}$

Wäre formal richtig, und dann kommt man auch nicht in so blöde Sachen rein.

01.03.2010, 17:55

unRuhe

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Die Aufgabe ist direkt aus der Prüfung SS09 (also letztes Semester) böse

7. Variable erfunden
$\begin{eqnarray*} 6k + 6*(n+1)^2 = 6x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

8. durch 6 geteilt und wieder aufgebröselt
$\begin{eqnarray*} k + n^2 + 2n + 1 = x \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} k,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +,* : \mathbb N \to \mathbb N \Rightarrow x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

so, kein bock mehr... nervt

01.03.2010, 18:01

IfindU

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Mir hätte es gereicht zu sagen, da alle Summanden durch 6 teilbar sind, ist auch die Summe durch 6 teilbar, aber so ists wohl auch richtig. (Auch wenn ich mich nicht wirklich mit der Schreibweise anfreuden kann)

01.03.2010, 18:07

unRuhe

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mhh jo, is bestimmt semantisch&syntaktisch falsch der formalismus,
in der Klausur hätte ich wohl einfach Worte verwendet.
Aber ich mag gern mit dem Latex-Editor spielen.

02.03.2010, 07:35

nephamael

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RE: Vollständige Induktion (durch 6 teilbar)

Zitat:

und dass dann heißt, dass ich beweisen soll das der linke Term immer ein Teiler von 6 ist.

umgekehrt, die linke Seite muss ein Vielfaches von 6 sein, also durch 6 teilbar sein ^^ 6 wäre also ein Teiler des linken Terms.

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