Zusammenhang Nullstellen Polynom und Ableitung Polynom

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gothino Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang Nullstellen Polynom und Ableitung Polynom
Hallo,

es geht um ein Beispiel aus der Galoisgruppentheorie, welches auf folgendem Satz aufbaut:

Satz: Sei Primzahl und sei irreduzibel vom Grad p. Hat f in genau 2 nichtreele Nullstellen dann ist

Dazu das Beispiel:

Sei

- Man sieht mit dem Eisensteinkriterium für p = 5 dass f irreduzibel (ist klar)

Dann wird argumentiert dass die Ableitung von f genau 2 Nullstellen in (bzw. 2 Nullstellen in hat und dass daraus auch folgt dass auch f genau 2 nichtreele Nullstellen hat (und man deshalb obigen Satz anwenden kann)

Wie kann ich aber von den Nullstellen der Ableitung f’ auf die Nullstellen des Polynoms schließen?
Danke und lg
gothino
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Nullstellen Polynom und Ableitung Polynom
Hi gothino,

- Du kannst aus der Existenz von maximal zwei reellen Nullstellen der Ableitung darauf schließen, dass die eigentliche Funktion maximal drei verschiedene Nullstellen in hat. (Satz von Rolle)
- Dass die Funktion mindestens drei verschiedene reelle Nullstellen hat, kann man dann zum Beispiel mit dem Zwischenwertsatz erkennen.
- Doppelte Nullstellen von f müssen auch Nullstellen von f' sein.

Gruß,
Reksilat.
 
 
gothino Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Nullstellen Polynom und Ableitung Polynom
ok, danke;

hab nicht gewusst dass es sogar einen Satz dazu gibt, aber bin dann beim Anschauen des Beispiels draufgekommen dass wenn man sich die Werte auf der reelen Axe anschaut dann sagen zwei Nullstellen in der Ableitung ja dass es ein Minimum und ein Maximum gibt und insgesamt drei Nullstellen
lg
gothino
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