Verschoben! Bild einer Funktion auf Folgen bestimmen

02.03.2010, 03:13

pablosen

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Bild einer Funktion auf Folgen bestimmen

Liebes Forum

Ich weiss, wie man den Kern und das Bild einer Abbildung auf einen Vektorraum berechnet. Aber wie funktioniert das bei einer Funktion, die wie im angehängten Bild definiert ist?

Grundsätzlich:
Kern(Tf)=0.

Da würde ich einfach alle endlichen Folgen mit nur 1 Element als Kern bezeichnen. Verstehe jetzt aber nicht, wie ich das tun soll.

Dann wäre einfach jede Folge, die nur "1 Element" lang ist, Kern. Aber wie kann ich das machen?

Könnt ihr mir vlt. einen Denkanstoss geben, wie ich vorgehen muss? Bin echt ratlos. (Linearität der Abbildung habe ich bereits bewiesen)
Grüsse

Für mich ist das Hochschulmathe; ich verschiebe Dich mal dahin.
Gruß, Gualtiero

02.03.2010, 10:05

kiste

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Was ist bei dieser Art von Funktion den anders als bei "einer Abbildung"?

Formalisiere mal dein "Folge mit nur einem Element" genauer.

Betrachte einfach einmal ein paar Beispiele

02.03.2010, 10:13

Mazze

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Die gleiche Aufgabe hatten wir vor 2 Tagen schon einmal. Click.

02.03.2010, 10:15

pablosen

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Ja, sry, wollte eigentlich in Hochschulmathe posten, war aber auch etwas spät in der Nacht. Danke fürs Verschieben.

Zitat:

Original von Mazze
Wenn Du zur Folge $\begin{eqnarray*} y = (y_1,y_2,...) \end{eqnarray*}$ eine Folge $\begin{eqnarray*} x = (x_1,x_2,...) \end{eqnarray*}$ findest , so dass

$\begin{eqnarray*} Tx = y \end{eqnarray*}$

gilt, zeigst Du :

T ist Surjektiv, und daraus folgt $\begin{eqnarray*} Im(T) = \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

und mehr brauchst Du nicht.

Auch das verstehe ich nicht so ganz. Habe den Thread übersehen, sry. Können wir hier weitermachen?

Zitat:

Original von kiste
Was ist bei dieser Art von Funktion den anders als bei "einer Abbildung"?

Formalisiere mal dein "Folge mit nur einem Element" genauer.

Betrachte einfach einmal ein paar Beispiele

Also die Linearität habe ich auch mit solchen Folgen gezeigt:
$\begin{eqnarray*} (a_o,a_1,...) \end{eqnarray*}$

und die Funktion macht daraus ja:

$\begin{eqnarray*} (a_1, a_2, ...) \end{eqnarray*}$

Meine Idee ist halt, dass Folgen der Form
$\begin{eqnarray*} (a_0) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} (b_0) \end{eqnarray*}$

den Kern bilden, da auf diese die Funktion angewendet "nichts" mehr da steht. Andererseits steht das im Widerspruch dazu, dass Folgen (meiner Ansicht nach) nicht endlich sind.

Das wäre mein Ansatz. Hatte jedoch leider noch kein Analysis. Bin ich auf dem richtigen Weg?

Denn falls ja, dann müsste ja das Bild jede mind. 2-elementige Folge sein. Und den Kern bilden dann alle 1-elementigen Folgen.

Aber eben, sehr unsicher da. Könnt ihr mir vlt. eine Richtung geben ev.? Keine Lust, die Lösungen morgen einfach abzuschreiben smile

smile

Grüsse
Pablosen

02.03.2010, 10:18

kiste

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Nein alle Folgen haben unendlich viele Elemente.
Das 0-Element ist dann eben (0,0,...). Die Elemente die auf dieses Element abbilden suchst du.

02.03.2010, 10:25

pablosen

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Zitat:

Original von kiste
Nein alle Folgen haben unendlich viele Elemente.
Das 0-Element ist dann eben (0,0,...). Die Elemente die auf dieses Element abbilden suchst du.

Danke. Dann ist der $\begin{eqnarray*} Ker(Mf) = (\lambda,0,0,0,...) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$

Wars das schon für den Kern? Ist das richtig so?

Bild:

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} (\lambda_1,\lambda_2,...) \end{eqnarray*}$ ist Bild wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Beweis....

Ist das so mal ein richtiger Ansatz?

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02.03.2010, 10:39

Mazze

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Zitat:

Danke. Dann ist der $\begin{eqnarray*} Ker(Mf) = (\lambda,0,0,0,...) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ Wars das schon für den Kern? Ist das richtig so?

Das ist ok.

Zitat:

Ist das so mal ein richtiger Ansatz?

Lambda 2 darf durchaus auch Null sein, wieso soll es denn nicht 0 sein dürfen?

02.03.2010, 10:50

pablosen

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Danke. Dann ist der $\begin{eqnarray*} Ker(Mf) = (\lambda,0,0,0,...) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ Wars das schon für den Kern? Ist das richtig so?

Das ist ok.

Zitat:

Ist das so mal ein richtiger Ansatz?

Lambda 2 darf durchaus auch Null sein, wieso soll es denn nicht 0 sein dürfen?

Klar, richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,...) \end{eqnarray*}$ ist Bild wobei mind. 1 $\begin{eqnarray*} \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 2 \le i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ beliebig.

Wie schreibt man das sauber auf? Aber das ist an sich schonmal ganz gut so, oder? Es steht ja nur "bestimme" und nicht "beweise", dass es ein Kern/Bild ist.

02.03.2010, 11:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von pablosen
$\begin{eqnarray*} (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,...) \end{eqnarray*}$ ist Bild

Das ist Unsinn, da das Bild einer linearen Abbildung eine Menge ist. Was du da hingeschrieben hast, ist keine Menge.

Zitat:

Original von pablosen
wobei mind. 1 $\begin{eqnarray*} \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 2 \le i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ beliebig.

Diese Einschränkungen stimmen schon wieder nicht. Das Bild ist der ganze Raum. Mach dir klar, warum.

02.03.2010, 13:17

pablosen

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Zitat:

Diese Einschränkungen stimmen schon wieder nicht. Das Bild ist der ganze Raum. Mach dir klar, warum.

Weil es für jedes $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ eben auch eine Folge gibt, die durch Anwendung der Funktion auf die Folge wieder ein $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ gibt(?). Konkret: $\begin{eqnarray*} a_{-1} \end{eqnarray*}$ .

Nun, dann ist aber das Bild:

$\begin{eqnarray*} (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,...) \end{eqnarray*}$ ist Bild wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_i \in K \end{eqnarray*}$ .

Aber dann wären die Folgen, die im Kern sind auch im Bild?

02.03.2010, 13:30

kiste

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Das Bild kann man noch etwas einfacher beschreiben, und warum dürfen Folgen aus dem Kern nicht im Bild liegen? Ich sehe da kein Problem

02.03.2010, 13:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von WebFritzi
Was du da hingeschrieben hast, ist keine Menge.

Wenn du meine Tipps nicht befolgst, kann ich dir auch nicht helfen.

02.03.2010, 13:44

pablosen

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Danke euch.

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von WebFritzi
Was du da hingeschrieben hast, ist keine Menge.

Wenn du meine Tipps nicht befolgst, kann ich dir auch nicht helfen.

Das ist doch nicht absichtlich. Ich versuche ja, mir das klar zu machen, klappt halt nicht auf Anhieb. Ich habe nun einiges gelesen und denke, ich bin ein Schritt weiter.

Da $\begin{eqnarray*} Ker(M)=\{ (0,0,0,...)\} \end{eqnarray*}$ , ist doch $\begin{eqnarray*} Im(M)=\{(a_0, a_1, a_2, ...)\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ beliebig.

Jetzt liegts "nur noch" an der Schreibweise, oder? Bin da sehr unsicher.

Der Kern sind ja nur Folgen mit lauter 0en, da man ja stets darauf die Funktion anwenden muss, richtig?
Grüsse

02.03.2010, 13:57

Mazze

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Der Kern hat überhaupt keinen Einflüss auf das Bild. Man kann Funktionen angeben, deren Kern eine Teilmenge des Bildes ist, oder auch nicht. Ausserdem hast Du den Kern doch schon richtig bestimmt, nur nicht richtig aufgeschrieben. Richtig aufgeschrieben wäre der Kern etwa :

$\begin{eqnarray*} Ker(f) = \{(\lambda,0,0,...,) | \lambda \in \mathbb{K}\} \end{eqnarray*}$

sprich, alle Folgen die überall Null sind mit beliebigem ersten Element gehören zum Kern. Was das Bild angeht, denk nochmal über WebFritzis Beitrag

Zitat:

Das Bild ist der ganze Raum. Mach dir klar, warum.

nach.

02.03.2010, 13:58

WebFritzi

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Wenigstens sind Kern und Bild jetzt als Mengen dargestellt - wenn auch falsch...

Zitat:

Original von pablosen
denke, ich bin ein Schritt weiter.

Da $\begin{eqnarray*} Ker(M)=\{ (0,0,0,...)\} \end{eqnarray*}$ , ist doch $\begin{eqnarray*} Im(M)=\{(a_0, a_1, a_2, ...)\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ beliebig.

Erstens hattest du oben den Kern schonmal richtig berechnet (jetzt ist er falsch), und zweitens kannst du vom Kern im Regelfall nicht auf das Bild schließen. Auch die Darstellung des Bildes ist falsch. Wie ich schon schrieb: Das Bild ist der ganze Raum. Und was ist hier der Raum?

02.03.2010, 22:15

pablosen

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Danke euch für die Antworten.

Zitat:

Original von WebFritzi
Wenigstens sind Kern und Bild jetzt als Mengen dargestellt - wenn auch falsch...

Zitat:

Original von pablosen
denke, ich bin ein Schritt weiter.

Da $\begin{eqnarray*} Ker(M)=\{ (0,0,0,...)\} \end{eqnarray*}$ , ist doch $\begin{eqnarray*} Im(M)=\{(a_0, a_1, a_2, ...)\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ beliebig.

Erstens hattest du oben den Kern schonmal richtig berechnet (jetzt ist er falsch), und zweitens kannst du vom Kern im Regelfall nicht auf das Bild schließen. Auch die Darstellung des Bildes ist falsch. Wie ich schon schrieb: Das Bild ist der ganze Raum. Und was ist hier der Raum?

Ja, okay, danke euch, ich habs glaubs:

$\begin{eqnarray*} Ker(T) = \{(\lambda,0,0,...) | \lambda \in \mathbb{K}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Im(T) = T(\mathbb{K}^\mathbb{N}) \rightarrow Im(T) = \mathbb{K}^{\mathbb{N}>0} \end{eqnarray*}$

Richtig so? Also ist das Bild einfach alles ab dem 1.Element (?). Darf man das so interpretieren?

03.03.2010, 06:42

Mazze

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Deine Schreibweise ist ein wenig verwirrend. Jede Folge die beim Index 1 anfängt kann auch durch eine Folge dargestellt werden die beim Index 0 anfängt, das sollte klar sein.

Zitat:

Das Bild ist der ganze Raum. Mach dir klar, warum.

oder in anderen Worten, diese Funktion ist Surjektiv, also gilt $\begin{eqnarray*} Im(T) = \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , was natürlich noch zu beweisen ist.

03.03.2010, 15:00

pablosen

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Zitat:

Original von Mazze
Deine Schreibweise ist ein wenig verwirrend. Jede Folge die beim Index 1 anfängt kann auch durch eine Folge dargestellt werden die beim Index 0 anfängt, das sollte klar sein.

Zitat:

Das Bild ist der ganze Raum. Mach dir klar, warum.

oder in anderen Worten, diese Funktion ist Surjektiv, also gilt $\begin{eqnarray*} Im(T) = \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , was natürlich noch zu beweisen ist.

Hast du die Aufgabe gelesen?

Es steht bestimme Kern und Bild. Muss man das dann beweisen? Steht ja nur bestimme und nicht beweise.

03.03.2010, 15:12

Mazze

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Im Fach Mathematik ist jede Aussage zu beweisen. Ansonsten kriegt man ein "wieso?" dran geschrieben und darf sich von einigen Punkten verabschieden. Hängt natürlich auch vom Korrektor ab. Der Beweis ist übrigens ein Einzeiler.

03.03.2010, 15:23

pablosen

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Zitat:

Original von Mazze
Im Fach Mathematik ist jede Aussage zu beweisen. Ansonsten kriegt man ein "wieso?" dran geschrieben und darf sich von einigen Punkten verabschieden. Hängt natürlich auch vom Korrektor ab. Der Beweis ist übrigens ein Einzeiler.

$\begin{eqnarray*} Sei f := (a_0, a_1, a_2, ...) \in \mathbb{K^{\mathbb{N}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(f) = (a_1, a_2, ...) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} (a_1, a_2, ...) \in \mathbb{K^{\mathbb{N}}} \rightarrow Im(T) = \mathbb{K^{\mathbb{N}}}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

03.03.2010, 15:29

Mazze

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Du bringst die Kausalität etwas durcheinander. Um Surjektivität zu zeigen wählt man ein Element des Bildraumes und zeigt das dieses Element ein Urbild besitzt. Sprich :

Sei $\begin{eqnarray*} y = (a_1,a_2,...) \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , setze $\begin{eqnarray*} x = (\lambda,a_1,a_2,...) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ beliebig, dann ist $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Tx = y \end{eqnarray*}$ , damit ist T surjektiv, usw.

Sprich Du musst bei deinem Beweis nur zwei Sachen umdrehen.

03.03.2010, 15:38

pablosen

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$\begin{eqnarray*} Sei f := (a_0, a_1, a_2, ...), g:= (\lambda, a_0, a_1, a_2, ...) \in \mathbb{K^{\mathbb{N}}} , \lambda \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f = (a_0, a_1, ...) = T((\lambda, a_0, a_1, a_2, ...)) = T(g) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} g \in \mathbb{K^{\mathbb{N}}} \rightarrow Im(T) = \mathbb{K^{\mathbb{N}}}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Stimmt es jetzt?

03.03.2010, 15:46

Mazze

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So kann man es stehen lassen. Noch kleiner Notationshinweis : Bei linearen Abbildungen (auch auf unendlichdimensionalen Räumen) lässt man die Klammern beim Argument oft weg. Man schreibt also $\begin{eqnarray*} Tx \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} T(x) \end{eqnarray*}$ . Der Hauptgrund dafür ist wohl um den Klammerwirrwarr zu entkommen wenn man lineare Abbildungen auf Funktionenräumen betrachtet.

03.03.2010, 16:44

pablosen

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Zitat:

Original von Mazze
So kann man es stehen lassen. Noch kleiner Notationshinweis : Bei linearen Abbildungen (auch auf unendlichdimensionalen Räumen) lässt man die Klammern beim Argument oft weg. Man schreibt also $\begin{eqnarray*} Tx \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} T(x) \end{eqnarray*}$ . Der Hauptgrund dafür ist wohl um den Klammerwirrwarr zu entkommen wenn man lineare Abbildungen auf Funktionenräumen betrachtet.

Danke, cool smile

smile

Aber "so kann man es stehen lassen" tönt meiner Ansicht nach nicht sehr überzeugend. Gibts noch was, was man besser machen kann ausser die Klammern weglassen?

03.03.2010, 18:06

WebFritzi

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Andres ausgedrückt: So ist es gut. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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