Umlaufzahl ist ganzzahling

02.03.2010, 15:13

kramer3

Umlaufzahl ist ganzzahling

Hallo,

die Umlaufzahl ist ja definiert als $\begin{eqnarray*} n(\gamma,\omega) = \frac{1}{2 \pi i} \int_0^1 \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-\omega} dt \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Umlaufzahl genau dann eine ganze Zahl, wenn sie ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 2 \pi i \end{eqnarray*}$ ist, oder anders formuliert, wenn $\begin{eqnarray*} \exp\left( \int_0^1 \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-\omega} dt \right) = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt definiere ich mir $\begin{eqnarray*} \varphi(\tau) :=\exp\left( \int_0^{\tau} \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-\omega} dt \right) \end{eqnarray*}$ und betrachte die Ableitung $\begin{eqnarray*} \varphi'(\tau) = \frac{\varphi(\tau) \cdot \gamma'(t)}{\gamma(t) - \omega} \end{eqnarray*}$ oder anders geschrieben $\begin{eqnarray*} \frac{\varphi'(\tau)}{\varphi(\tau)} = \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t) - \omega} \end{eqnarray*}$ .

Dieses $\begin{eqnarray*} \frac{\varphi'(\tau)}{\varphi(\tau)} \end{eqnarray*}$ ist nun ja die logarithmische Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\varphi'(\tau)}{\varphi(\tau)} = \left( \log(\gamma(t) - \omega) \right)' \end{eqnarray*}$ .

Irgendwie soll man jetzt mit dieser logarithmischen Ableitung zeigen, dass die Umlaufzahl eine ganze Zahl ist. Bis zu der logarithmischen Ableitung bin ich ja noch gekommen, aber wie man jetzt weiter macht ist mir nicht so ganz klar...

Sieht vielleicht jemand, wie man hier weitermacht?

02.03.2010, 15:39

WebFritzi

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Dein Beitrag wimmelt von Fehlern. Was soll das t ohne Integral? Am Ende muss es ein phi sein - kein gamma.

02.03.2010, 15:47

kramer3

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Hallo,

ich weiß nicht, was du damit meinst. Ich habe $\begin{eqnarray*} \gamma:[0,1] \to \mathbb{C}, t \mapsto \gamma(t) \end{eqnarray*}$ gesetzt. Und wo muss ich gamma durch phi ersetzen?

02.03.2010, 15:49

WebFritzi

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Zitat:

Original von kramer3
Und wo muss ich gamma durch phi ersetzen?

Sorry, mein Fehler. Hatte nicht gut gelesen. Aber das t ist trotzdem Unfug. Ersetze es durch tau.

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