Additionstheoreme fuer trigonometrische Funktionen, Teil 2

20.10.2006, 16:48

teamkilla

Additionstheoreme fuer trigonometrische Funktionen, Teil 2

Die Funktion $\begin{eqnarray*} g(t)=sin^2t \cdot cos^2t \end{eqnarray*}$ soll mittels additionstheoreme fuer trigonometrische funktionen als funktion von $\begin{eqnarray*} cos4t \end{eqnarray*}$ dargestellt werden.. hab da schwierigkeiten hinzukommen..
ich weiss zwar, dass $\begin{eqnarray*} sin^2t=\frac{1-cos2t}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos^2t=\frac{1+cos2t}{2} \end{eqnarray*}$ ist, komme von da aber nicht weiter.. vor allem nicht zu den geforderten cos4t..

hilfe unglücklich

20.10.2006, 16:59

therisen

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Mit $\begin{eqnarray*} \sin^2(z) + \cos^2(z) = 1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sin^2(z)\cos^2(z) = (1-\cos^2(z))\cos^2(z) \end{eqnarray*}$ . Und jetzt mal $\begin{eqnarray*} \cos(4z) = 8\cos^4(z)-8\cos^2(z) + 1 \end{eqnarray*}$ beachten.

Gruß, therisen

20.10.2006, 20:16

teamkilla

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wie kommt man aber von $\begin{eqnarray*} (1-\cos^2(z))\cos^2(z) \end{eqnarray*}$ , bzw von $\begin{eqnarray*} cos^2(z)-cos^4(z) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 8cos^4(z)-8cos^2(z)+1 \end{eqnarray*}$ ?? verwirrt

20.10.2006, 20:21

MrPSI

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Zitat:

Original von teamkilla
wie kommt man aber von $\begin{eqnarray*} cos^2(z)-cos^4(z) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 8cos^4(z)-8cos^2(z)+1 \end{eqnarray*}$ ?? verwirrt

Tut man ja gar nicht! Du sollst die Formel $\begin{eqnarray*} \cos(4z) = 8 \cos^4(z) - 8 \cos^2(z) +1 \end{eqnarray*}$ betrachten, um die Funktion $\begin{eqnarray*} g(z) = \cos^2(z)-cos^4(z) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \cos(4z) \end{eqnarray*}$ auszudrücken.

20.10.2006, 20:32

teamkilla

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aber wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} 8cos^4(z)-8cos^2(z)+1 \end{eqnarray*}$ ? woher hast du das?

20.10.2006, 20:34

MrPSI

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Also, ich habs von diesem Wikipedia-Artikel

Aber wie man es herleitet weiß ich auch nicht. Wahrscheinlich über die bekannte Doppelwinkelgleichung.

20.10.2006, 20:53

teamkilla

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ok, danke.. das problem ist halt, dass wir in der naechsten klausur keine formelsammlung benutzen duerfen.. und ich will mir halt nicht 10-20 trigonometrische formeln reinpauken muessen..

20.10.2006, 20:58

system-agent

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normalerweise wird auch nie verlangt, dass jemand den ganzen formelsalat auswendig kann. bei uns hat der trigonometrische pythagoras immer ausgereicht !

22.10.2006, 12:35

therisen

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Nachtrag: Um $\begin{eqnarray*} \cos(4z) = 8\cos^4(z)-8\cos^2(z)+1 \end{eqnarray*}$ herzuleiten, muss man nur $\begin{eqnarray*} \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos^2 z + \sin^2 z = 1 \end{eqnarray*}$ wissen: $\begin{eqnarray*} \cos(2\cdot 2z) = \cos^2 (2z) - \sin^2(2z) = 2 \cos^2(2z) -1 = 2 (2 \cos^2(z)-1)^2 -1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt noch vereinfachen und das war's auch schon.

Gruß, therisen

22.10.2006, 15:03

13mathelk

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@teamkilla, ich hab im moment genau das gleiche prob, schreibe eine klausur über trigonomische funktionen, mit kurvenscharen und so weiter, da werden höchstwahrscheinlich auch Additionstheoreme drankommen,...

Hat vielleicht irgendjemand eine übungsklausur im netz? +lösung zum vergleichen?

www.e-math.de ist eine ganz gute seite, jedoch bekommt man dort auch nicht viel mehr infos....

^
vorallen dingen, das was ich nun gelsen habe in diesem beitrag, scheint ja ganz logisch zu sein (auch mit dem wikipedia link) aber in einer klausur unter zeitdruck, muss es doch irgendeine andere möglichkeit geben?

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