Klausur - Frage zu linearer (Un-)abhängigkeit (nur überprüfen!!)

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*dienina* Auf diesen Beitrag antworten »
Klausur - Frage zu linearer (Un-)abhängigkeit (nur überprüfen!!)
Hallo liebe Mit-Mathematiker!!

Ich schreibe morgen meine Abschluss-Klausur für Lineare Algebra I und bin grade noch in den letzten Lernzügen.

Das MatheBoard hat mir beim Lernen oft weitergeholfen und daher möchte ich mich erst einmal bei allen bedanken, die das hier alles in die Welt gerufen haben und sich so gut um die Ausführung kümmern!!!

Meine Frage bezüglich linearer (Un-)Abhängigkeit wurde im Forum schon oft gestellt, aber ich konnte leider nicht viel damit anfangen. Irgendwie.
Eigentlich bin ich mir recht sicher das vestanden zu haben, aber ein kurzes Feedback von jemandem wäre echt prima!

Also:
Wenn ich jetzt in der Klausur die Aufgabe bekomme zu bestimmen, ob die folgenden drei Vektoren voneinander linear abhängig oder unabhängig sind, würde ich wie folgt vorgehen:



Ich erstelle ein Lineares Gleichungssystem für A und B:

Da ich hierbei bereits einen Wiederspruch herausbekomme ist bewiesen, dass die Vektoren A und B linear unabhängig sind.

Nun erstelle ich ein LGS für B und C:

Auch hier handelt es sich um einen Wiederspruch, also ebenfalls um zwei linear unabhängige Vektoren.

Das letzte LGS für die Vektoren C und A:

Und auch beim letzten LGS bekomme ich einen Wiederspruch heraus, also sind auch die Vektoren C und A linear unabhängig.

Hab ich mir ja prima Vektoren ausgesucht^^

OK, aber gegeben dem Fall, es wären zwei Vektoren, die abhängig voneinander sind, dann ist es so, dass aus dem LGS kein Wiederspruch heraus kommt.

Ist das soweit richtig?? Kann man das bei einer Uni-Klausur so berechnen??
Wie gesagt, über ein kurzes Feedback wäre ich sehr dankbar!!

*dienina*
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast gezeigt das die drei Vektoren paarweise linear Unabhängig sind, das ist nicht hinreichend dafür, das alle 3 Vektoren linear unabhängig sind. Von daher ist deine Methode falsch. Mit deiner Methode kannst Du lediglich lineare Abhängigkeit zeigen. Richtig wäre zum Beispiel das Gleichungssystem



zu betrachten, und zu zeigen dass nur eine Lösung sein kann. Alternativ könntest Du auch die Determinante berechnen, die Determinante einer quadratischen Matrix A ist genau dann ungleich 0, wenn ihre Spaltenvektoren linear unabhängig sind.

Weiterer Hinweis : Bei deiner Argumentation bekommst Du keine Widersprüche, Du bekommst das alle koeffizienten gleich 0 sein müssen.

Ein Beispiel warum deine Methode falsch ist :







Diese 3 Vektoren sind alle paarweise linear unabhängig, zu dritt sind sie aber linear abhängig.
*dienina* Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke für die schnelle Antwort!

Wenn ich dann also die Vektoren im Gleichungssystem berechnet habe und da dann wirklich herausbekomme, dann sind sie zu dritt linear abhängig.
Ist das richtig?

_____________________________________________________


Die Determinatnte wäre ja dann:
1*1*2 + 2*1*2 + 0*1*3 - 0*1*2 - 2*1*2 - 1*1*3 also = 0
also sind die Spaltenvektoren voneinander abhängig.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und da dann wirklich herausbekomme, dann sind sie zu dritt linear abhängig. Ist das richtig?


Nicht ganz, wenn die einzige Lösung ist, dann sind die 3 Vektoren linear unabhängig. Das ist schliesslich auch die Definition der linearen Unabhängigkeit.

edit :

Die Determinante der zugehörigen Matrix ist -1.
*dienina* Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... abhängig. Wird gelernt und gemerkt!! Augenzwinkern

Wie kommst du denn jetzt auf eine Determinante von -1 ??

Ich hab doch dann die Matrix

Die Determinante hab ich dann immer so berechnet:

Die ersten zwei Spalten hinter die Matrix geschrieben, also quasi so:


Dann multipliziere ich die einzelnen Ziffern der ersten Diagonalen von links oben nach rechts unten und addiere das mit der zweiten und dann mit der dritten Diagonalen.
.....

Ja, genau, und da lag mein Fehler. Sorry! Hammer

Nur um das hier zu Ende zu führen:
Man bekommt dann die Rechnung: 2+4-3-4 = -1

Und da das dann ungleich 0 ist, sind die Spaltenvektoren linear unabhängig voneinander.

Allet klar!!!

Danke für deine Hilfe Mazze!!
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